Подмножества вещественных чисел

[Dicson]

mihaild в сообщении #1564075 писал(а):

Слово "континуум" в данном контексте не означает какой-то конкретный объект. В фразе "множество имеет мощность континуум" словосочетание "мощность континуум" неделимо.

То есть мощность множества подмножеств вещественных чисел может не иметь отношения ни к какому "континууму"? Поэтому аналогии "если вещественные числа равномощны континууму, то множество подмножеств вещественных чисел равномощны гиперконтинууму" неуместны? Вы это имели в виду?

mihaild в сообщении #1564075 писал(а):

"Гиперконтинуум" - не очень общепринятый термин, не исключаю, что в разных местах у него могут быть неэквивалентные определения. Каким вы пользуетесь?

Я не могу ничего по гиперконтинуумам найти, кроме какого-то отрывка то ли из обсуждения, то ли ещё из чего-то, где было написано, что гиперконтинуум - это множество подмножеств вещественных чисел, множество подмножества этого множества - это гипер-гиперконтинуум и так далее до бесконечности. Собственно, поэтому я и спрашиваю, можно ли эти "множества подмножеств" ассоциировать с гиперконтинуумами.

mihaild в сообщении #1564075 писал(а):

А что, вещественные числа построить можно?

Нет (на практике, естественно).

То же самое, я поэтому и спрашиваю. Можно ли назвать множество подмножеств вещественных чисел неконструктивным объектом? Оно есть, но вроде бы ни предъявить его, ни приблизительно описать нельзя.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1564082 писал(а):

То есть мощность множества подмножеств вещественных чисел может не иметь отношения ни к какому "континууму"?

Нет (в данном контексте на вашем уровне) никакого "континуума". Есть "мощность континуума". А точнее даже свойство "иметь мощность континуума". Это словосочетание выглядит как будто где-то есть какой-то "континуум" с какой-то "мощностью", но на самом деле оно неделимо.

Dicson в сообщении #1564082 писал(а):

Я не могу ничего по гиперконтинуумам найти, кроме какого-то отрывка то ли из обсуждения, то ли ещё из чего-то

Не учите математику по "обрывкам обсуждений". Подозреваю что лучше всего вам будет забыть обо всём прочитанном там и взять учебник.

Dicson в сообщении #1564082 писал(а):

Можно ли назвать множество подмножеств вещественных чисел неконструктивным объектом?

Что угодно назвать можно чем угодно, вопрос что дальше с этим делать. Вряд ли есть какой-то разумный смысл "конструктивности", в котором $\mathbb R$ конструктивно, а $\mathcal P(\mathbb R)$ - нет.

[Dicson]

mihaild, спасибо, я вас понял. По-моему, теперь я получил ответы на все заданные вопросы.

[Aritaborian]

Dicson в сообщении #1564082 писал(а):

ни приблизительно описать нельзя

А что, «множество подмножеств вещественных чисел» это плохое описание? Руководствуясь им, мы можем для любого предъявленного объекта сказать, принадлежит он множеству или нет. Можем поступить и наоборот: предъявить конкретные объекты, принадлежащие множеству и не принадлежащие ему. Разве от определения требуется что-то ещё?

[Someone]

Dicson в сообщении #1564082 писал(а):

Я не могу ничего по гиперконтинуумам найти

Ничего удивительного. Этот термин в теории множеств не употребляется. Как будто бы я его встречал в какой-то популярной литературе, но не помню, в какой. Лучше будет, если Вы его употреблять не будете.

Dicson в сообщении #1564069 писал(а):

Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел.

Если речь идёт о мощности, то термин "континуум" по определению обозначает мощность множества действительных чисел. Континуум не "равномощен" множеству действительных чисел, а просто есть мощность множества действительных чисел. И да, континуум равен $2^{\aleph_0}$.

За пределами теории множеств у термина "континуум" есть по меньшей мере ещё одно значение.

zykov в сообщении #1564068 писал(а):

Мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел обозначается $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$

Ну нет. Это равенство — так называемая континуум-гипотеза, которая обозначается [CH]. Доказано, что в рамках стандартных теорий множеств её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. У теории множеств есть как модели, в которых это равенство верно, так и модели, в которых оно неверно.

[Dicson]

Someone в сообщении #1564090 писал(а):

Ничего удивительного. Этот термин в теории множеств не употребляется. Как будто бы я его встречал в какой-то популярной литературе, но не помню, в какой. Лучше будет, если Вы его употреблять не будете.

Я отыскал ссылку, где видел термин гиперконтинуум. Это оказался чей-то образовательный блог. Цитата:

Цитата:

N0 < 2N0 = C = N1 < 2N1 = N2 < 2N2 = N3 < ... , где N0, N1=C, N2=2C, N3=22 (N – алеф, С – готическое «це») есть последовательная счетная мощность, континуум, гипер-континуум, гипер-гипер-континуум. Кантор поставил вопрос о существовании промежуточной мощности между счетной и континуумом и о существовании промежуточной мощности между N0 и N1 (континуум гипотезы). Гедель и Коэн показали, что обе гипотезы не могут быть доказаны (Гедель) и опровергнуты (Коэн) в аксиоматической теории множеств, то есть обе гипотезы не зависят от аксиом теории множеств.

Образовательный блог — всё для учебы. Шкала мощностей.

Для простоты, там, где не важна математическая точность, а важна наглядность, разве гиперконтинуум не подойдёт?

Someone в сообщении #1564090 писал(а):

Если речь идёт о мощности, то термин "континуум" по определению обозначает мощность множества действительных чисел. Континуум не "равномощен" множеству действительных чисел, а просто есть мощность множества действительных чисел.

Я это понимаю. Просто запутался в терминологии. Посмотрел Википедию, действительно, про "равномощность" не написано.

Aritaborian в сообщении #1564089 писал(а):

Руководствуясь им, мы можем для любого предъявленного объекта сказать, принадлежит он множеству или нет.

Вы можете предъявить такой объект, который не принадлежит множеству вещественных чисел, но принадлежит множеству его подмножеств?

[zykov]

Dicson в сообщении #1564092 писал(а):

Вы можете предъявить такой объект, который не принадлежит множеству вещественных чисел, но принадлежит множеству его подмножеств?

Вообще-то все элементы множества подмножеств не принадлежат множеству вещественных чисел, т.к. они являются подмножествами, а не числами.

[Dicson]

zykov в сообщении #1564094 писал(а):

Вообще-то все элементы множества подмножеств не принадлежат множеству вещественных чисел, т.к. они являются подмножествами, а не числами.

То есть предъявить объект из множества подмножеств вещественных чисел нельзя, так как нельзя построить формулу, которая опишет этот объект?

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1564078 писал(а):

Может быть множество подмножеств для наглядности можно представить себе как множество индикаторных функций на множестве? Ну то есть в вашем случае $\mathbb R \to \{0,1\}$

Красота этой конструкции еще и в том, что на $\{0,1\}$ можно смотреть как на категорию с двумя объектами, в которой все стрелки - единичные. (это не та категория, которую обычно обозначают как 2, т.к. в 2 есть еще и неединичная стрелка). И вообще на любое множество $M$ можно смотреть как на категорию, в которой все стрелки единичные (такие категории называются дискретными). Тогда все функции из $M$ в $\{0,1\}$ - суть функторы из $M$ в $\{0,1\}$, где последние рассматриваются как категории. И эти функторы можно рассматривать как объекты категории $\{0,1\}^M$; стрелками в $\{0,1\}^M$ будут естественные преобразования между этими функторами. А т.к. в $\{0,1\}$ неединичных стрелок нет, значит между любыми двумя различными функторами из $\{0,1\}^M$ нету стрелок, т.е. $\{0,1\}^M$ получается тоже дискретной категорией.
Блин, как же я кайфую от теории категорий

[Aritaborian]

Dicson в сообщении #1564096 писал(а):

То есть предъявить объект из множества подмножеств вещественных чисел нельзя

Aritaborian в сообщении #1564089 писал(а):

Можем поступить и наоборот: предъявить конкретные объекты, принадлежащие множеству и не принадлежащие ему.

$\{1, 2\} \in 2^\mathbb{R}$. $\text{Троллейбус № 41} \notin 2^\mathbb{R}$.

[Mikhail_K]

Dicson в сообщении #1564096 писал(а):

То есть предъявить объект из множества подмножеств вещественных чисел нельзя, так как нельзя построить формулу, которая опишет этот объект?

Ну как же нельзя. Возьмите любое подмножество множества вещественных чисел. Например, $\{1,2,\pi\}$. Вот Вам и элемент множества подмножеств вещественных чисел.

Dicson в сообщении #1564092 писал(а):

Вы можете предъявить такой объект, который не принадлежит множеству вещественных чисел, но принадлежит множеству его подмножеств?

Так множество вещественных чисел и множество подмножеств множества вещественных чисел вообще не пересекаются. Так что в качестве такого объекта можно предъявить любое подмножество множества вещественных чисел, например хоть $\{1,2,\pi\}$.

Оба эти вопроса свидетельствуют о том, что Вы слабо понимаете, о чём спрашиваете.
Лучше Вам взять хоть Виленкина "Рассказы о множествах", прочитать, а потом уже вернуться к этим вопросам.
Ну или если хочется чего посерьёзнее - первая глава Колмогорова-Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа".

[Dicson]

Mikhail_K в сообщении #1564099 писал(а):

Ну как же нельзя.

Хорошо, понятно, я пытаюсь сравнить несравнимое. Тем не менее, исходя из моей "образовательной" ссылки выше, существуют ли такие элементы, которые есть в гиперконтинууме, но их нет в континууме? Континуум и гиперконтинуум - это же что-то "сравнимое"?

И ещё. Почему мы не можем пронумеровать какими-нибудь числами множество подмножеств вещественных чисел? Потому, что подходящих по мощности чисел у нас нет, но это не значит, что такое "невозможное пронумеровать" количество объектов "может существовать"?

[Aritaborian]

Ну так мы и множество действительных чисел уже не можем пронумеровать. А мощность множества его подмножеств — ещё больше.

Dicson в сообщении #1564100 писал(а):

существуют ли такие элементы, которые есть в гиперконтинууме, но их нет в континууме?

Mikhail_K в сообщении #1564099 писал(а):

Так множество вещественных чисел и множество подмножеств множества вещественных чисел вообще не пересекаются.

И вы продолжаете путаться в терминологии и запутывать собеседников. Вам уже сказали, что континуум это мощность, а не множество, а также попросили не употреблять слово «гиперконтинуум».

[Dicson]

С пересечением понял, спасибо. Не пересекаются.

Aritaborian в сообщении #1564101 писал(а):

Ну так мы и множество действительных чисел уже не можем пронумеровать.

Это понятно. Я спрашивал в более общем смысле, только неудачно выразился. Множество подмножеств вещественных чисел - это "количество"? Чего-то, неважно чего. Так можно сказать?

[Aritaborian]

Нельзя. Множество это множество, а не количество. Множеству может быть поставлена в соответствие его мощность. Попробуйте перечитать топик, а не то по кругу начнём ходить. А ещё лучше книгу Виленкина, посоветованную вам уважаемым Mikhail_K.