"Почти целые" числа

[makxsiq]

$(1+\sqrt{3})^{2015}$

https://www.braingames.ru/index.php?pat ... puzzle=644

[kotenok gav]

makxsiq в сообщении #1535364 писал(а):

$(1+\sqrt{3})^{2015}$

https://www.braingames.ru/index.php?pat ... puzzle=644

Таких примеров можно кучу настругать. Просто берём любое число вида $(a+b\sqrt c)^{2n+1}$, такое, что $|a-b\sqrt c|$ не больше единицы.

[zykov]

Для чётных степеней тоже число близко к целому. Только вместо нулей после запятой будут девятки.

Классический пример - формула Бине для чисел Фибоначчи.
Там второе слагаемое с ростом $n$ будет быстро к нулю приближаться. Так что достаточно взять первое слагаемое $\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}$ и округлить до ближайшего целого.

Здесь кстати тоже, если построить целочисленную последовательность $a_n$ округляя $(1+\sqrt 3)^n$ вниз для нечётных и вверх для чётных, то получится $2, 8, 20, 56, 152, 416, 1136, 3104, 8480, 23168, 63296, ...$
Для неё тоже получается рекурсивная формула наподобии Фибоначчи: $a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1})$.
А явная формула: $a_n=(1+\sqrt3)^n+(1-\sqrt3)^n$.

[makxsiq]

Теперь немного из другой серии, но с картинками и мультфильмами.
На картинке в полярной системе координат $(r,\phi)$
изображены все числа вида $r=n, \phi=n$, где $n \in N$

Рисунок. 44 класса вычетов по модулю 44

Мульт
$ \frac{44}{7}\approx 2\pi $

[Droog_Andrey]

makxsiq, с числом 710 ещё веселее.

[WaRLoC]

makxsiq в сообщении #1551750 писал(а):

в полярной системе координат

в полярной системе координат все целые числа в спиральках....

[Gagarin1968]

Рылся в библиотеке Техниона и в старой журнальной статье за 1996 год наткнулся на вот такое: \displaystyle e^{\pi \sqrt{427}}-5280^3\cdot (236674+\sqrt{61}\cdot 30303)^3=744
Не поверил, достал калькулятор (16-разрядный), он выдал 744,000000009802. 8 нулей после запятой!
Но я и тут не поверил. Пришёл домой, зарядил Wolfram и Maple. Они выдали идентичный результат: 743.999999999999999999999987388491749404...
Двадцать две (!!!) девятки после запятой. Впечатлился.

(Оффтоп)

Да, и кстати, вопрос модераторам. Во всех вышеприведённых формулах я пользовался только тегом [math], а обрамление долларами похерил. И тем не менее Latex это принимает, и формулы такие же читабельные как и с долларами. Так зачем нужны доллары? Может ну их?

[Pphantom]

(Оффтоп)

Gagarin1968 в сообщении #1563897 писал(а):

Рылся в библиотеке Техниона и в старой журнальной статье за 1996 год наткнулся на вот такое: \displaystyle e^{\pi \sqrt{427}}-5280^3\cdot (236674+\sqrt{61}\cdot 30303)^3=744
Не поверил, достал калькулятор (16-разрядный), он выдал 744,000000009802. 8 нулей после запятой!
Но я и тут не поверил. Пришёл домой, зарядил Wolfram и Maple. Они выдали идентичный результат: 743.999999999999999999999987388491749404...
Двадцать две (!!!) девятки после запятой. Впечатлился.

Посмотрите на результат цитирования - это следствие отсутствия долларов.

[maxal]

Из свежего Кванта:

[maxal]

НМО в телеграме писал(а):

пример от J.C.Baez’а

It's a fact about the Jacobi theta functions θ₂ and θ₃ (…). These functions are important in the study of elliptic curves. It's not very hard to show that as x gets bigger and approaches 1, we have θ₂(x) - θ₃(x) → 0. But fact it goes to zero very fast, so
|θ₂(4/5) - θ₃(4/5)| ≈ 9.3 × 10⁻¹⁹
We can go on with this game:
|θ₂(9/10) - θ₃(9/10)| ≈ 4.5 × 10⁻⁴⁰
and so on.

[Droog_Andrey]

Это следует из $\theta_3(x)^4-\theta_2(x)^4=\theta_4(x)^4$, где $\theta_4(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n x^{n^2}$ :)