Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

[nothingg]

Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с $n$ сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?
* В первом вопросе, я думаю, что количество треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами равно:

$$n(n - 1)(n - 2)$$

Потому что количество способов выбрать первую вершину равно $n$, вторую вершину $n - 1$ и третью вершину $n - 2$. Однако я думаю, что этот результат неверен, потому что есть повторяющиеся треугольники, но я не знаю, как найти и доказать количество повторяющихся треугольников.
* Во втором вопросе, у меня есть 2 идеи по этой проблеме:
- Первый подход заключается в нахождении количества треугольников, не имеющих общих сторон с многоугольником. (напрямую)
- Второй подход заключается в нахождении количества треугольников, которые имеют хотя бы одну общую сторону с многоугольником, а затем вычитание их из общего числа треугольников. (косвенно)
Тем не менее, я очень борюсь с количеством способов выбрать вершину или сторону треугольников.
Из-за этих проблем мне нужна помощь, чтобы решить ее. Пожалуйста, дайте мне подробное объяснение вашей идеи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.

[nothingg]

gris в сообщении #1561466 писал(а):

Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.

1. Первый вопрос: Я думаю, что повторяющиеся треугольники отличаются только последовательностью вершин, верно? Таким образом, количество треугольников, образованных вершинами $n$-угольника, равно:

$$n(n-1)(n-2)/6$$

Поскольку каждый треугольник повторяется 3 раза по 3 его вершинам и по 2 раза по каждой своей вершине, то в сумме он повторяется $3\times2=6$. По теме думаю все таки надо считать треугольники только от диагоналей.
2. Второй вопрос: Я знаю, что есть $n$ способов выбрать первую вершину. Однако я не понимаю, как считать способы выбора второй вершины и третьей вершины в соответствии с вашей идеей. Пожалуйста, помогите мне объяснить эту проблему подробно.

[Otta]

nothingg
Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

[nothingg]

Otta в сообщении #1561512 писал(а):

nothingg
Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

Мне нужно объяснить, как найти количество способов выбрать вторую вершину и третью вершину. Я думаю, что количество второй вершины, следуя приведенной выше идее, равно $n - 3$, потому что нам нужно исключить выбранную вершину и 2 соседние вершины. Таким образом, номер третьей вершины, которая не является смежной с обеими вершинами выше, равен $n - 5$, потому что нам нужно исключить 3 вершины выше, 1 вершину, которую мы недавно выбрали, и 1 вершину, смежную с вершиной, которую мы недавно выбрали. Однако я думаю, что в моих рассуждениях много пробелов, потому что я не могу их доказать. Более того, правильный ответ на эту задачу:

$$n(n-4)(n-5)/6$$

[EUgeneUS]

nothingg в сообщении #1561525 писал(а):

Более того, правильный ответ на эту задачу:

$$n(n-4)(n-5)/6$$

Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата - ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника - шесть.

[nothingg]

EUgeneUS в сообщении #1561527 писал(а):

nothingg в сообщении #1561525 писал(а):

Более того, правильный ответ на эту задачу:

$$n(n-4)(n-5)/6$$

Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата - ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника - шесть.

Я думаю, что ваш ответ не имеет отношения к этой задаче.

[nnosipov]

nothingg в сообщении #1561525 писал(а):

Более того, правильный ответ на эту задачу:

$$n(n-4)(n-5)/6$$

Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

[gris]

nothingg, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$
Пока писал, уже написали:(

[EUgeneUS]

да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся - у Вас был ответ на второй вопрос
На второй вопрос - это верный ответ.

gris в сообщении #1561542 писал(а):

Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$

Он действует для $n \ge 4$

[nothingg]

nnosipov в сообщении #1561540 писал(а):

nothingg в сообщении #1561525 писал(а):

Более того, правильный ответ на эту задачу:

$$n(n-4)(n-5)/6$$

Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

Я попробую эту идею!

-- 31.07.2022, 21:56 --

EUgeneUS в сообщении #1561545 писал(а):

да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся - у Вас был ответ на второй вопрос
На второй вопрос - это верный ответ.

gris в сообщении #1561542 писал(а):

Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$

Он действует для $n \ge 4$

Извините, я не подумал о случае $n\ge4$. Спасибо, что сообщили мне о недостатке в моих рассуждениях!

[Lia]

nothingg
Обращение на "ты" является нарушением правил форума.

[nothingg]

gris в сообщении #1561542 писал(а):

nothingg, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$
Пока писал, уже написали:(

Я так понимаю вашу мысль: количество способов выбрать первую вершину равно $n$, тогда при выборе второй вершины вы разделили это на 2 случая
- Случай 1: вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки) поэтому в этом случае есть 2 способа выбрать вторую вершину. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 2 выбранные вершины, 2 вершины, смежные с первой вершиной, и вершину, смежную со второй вершиной, поэтому существует $n - 5$ способов выбрать третью.
- Случай 2: вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой поэтому в этом случае есть $n - 5$ способов выбрать вторую вершину, потому что мне нужно исключить 1 выбранную вершину, 2 вершины, смежные с первой, и 2 вершины, смежные с 2 соседними вершинами первой вершины. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 5 вершин, о которых я говорил выше, и вторую, которую я выбрал недавно, поэтому есть $n - 6$ способов выбрать третью.
Поскольку порядок вершин не имеет значения, нам нужно разделить результат на $3! = 6$.
Результат:

$$\frac{n\times2\times(n-5)+n\times(n-5)\times(n-6)}{6}=\frac{n\times(n-4)\times(n-5)}{6}$$