2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение29.07.2022, 11:27 


29/07/22
12
Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с $n$ сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?
* В первом вопросе, я думаю, что количество треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами равно: $$n(n - 1)(n - 2)$$ Потому что количество способов выбрать первую вершину равно $n$, вторую вершину $n - 1$ и третью вершину $n - 2$. Однако я думаю, что этот результат неверен, потому что есть повторяющиеся треугольники, но я не знаю, как найти и доказать количество повторяющихся треугольников.
* Во втором вопросе, у меня есть 2 идеи по этой проблеме:
- Первый подход заключается в нахождении количества треугольников, не имеющих общих сторон с многоугольником. (напрямую)
- Второй подход заключается в нахождении количества треугольников, которые имеют хотя бы одну общую сторону с многоугольником, а затем вычитание их из общего числа треугольников. (косвенно)
Тем не менее, я очень борюсь с количеством способов выбрать вершину или сторону треугольников.
Из-за этих проблем мне нужна помощь, чтобы решить ее. Пожалуйста, дайте мне подробное объяснение вашей идеи.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.07.2022, 12:16 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.07.2022, 12:30 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение30.07.2022, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение30.07.2022, 20:00 


29/07/22
12
gris в сообщении #1561466 писал(а):
Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.


1. Первый вопрос: Я думаю, что повторяющиеся треугольники отличаются только последовательностью вершин, верно? Таким образом, количество треугольников, образованных вершинами $n$-угольника, равно: $$n(n-1)(n-2)/6$$ Поскольку каждый треугольник повторяется 3 раза по 3 его вершинам и по 2 раза по каждой своей вершине, то в сумме он повторяется $3\times2=6$. По теме думаю все таки надо считать треугольники только от диагоналей.
2. Второй вопрос: Я знаю, что есть $n$ способов выбрать первую вершину. Однако я не понимаю, как считать способы выбора второй вершины и третьей вершины в соответствии с вашей идеей. Пожалуйста, помогите мне объяснить эту проблему подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение30.07.2022, 21:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
nothingg
Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 11:37 


29/07/22
12
Otta в сообщении #1561512 писал(а):
nothingg
Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

Мне нужно объяснить, как найти количество способов выбрать вторую вершину и третью вершину. Я думаю, что количество второй вершины, следуя приведенной выше идее, равно $n - 3$, потому что нам нужно исключить выбранную вершину и 2 соседние вершины. Таким образом, номер третьей вершины, которая не является смежной с обеими вершинами выше, равен $n - 5$, потому что нам нужно исключить 3 вершины выше, 1 вершину, которую мы недавно выбрали, и 1 вершину, смежную с вершиной, которую мы недавно выбрали. Однако я думаю, что в моих рассуждениях много пробелов, потому что я не могу их доказать. Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 11:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13808
уездный город Н
nothingg в сообщении #1561525 писал(а):
Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$


Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата - ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника - шесть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 13:18 


29/07/22
12
EUgeneUS в сообщении #1561527 писал(а):
nothingg в сообщении #1561525 писал(а):
Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$


Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата - ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника - шесть.

Я думаю, что ваш ответ не имеет отношения к этой задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 13:47 
Заслуженный участник


20/12/10
9049
nothingg в сообщении #1561525 писал(а):
Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$
Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
nothingg, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$
Пока писал, уже написали:(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 14:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13808
уездный город Н
да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся - у Вас был ответ на второй вопрос :roll: :facepalm:
На второй вопрос - это верный ответ.

gris в сообщении #1561542 писал(а):
Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$

Он действует для $n \ge 4$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 21:53 


29/07/22
12
nnosipov в сообщении #1561540 писал(а):
nothingg в сообщении #1561525 писал(а):
Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$
Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

Я попробую эту идею!

-- 31.07.2022, 21:56 --

EUgeneUS в сообщении #1561545 писал(а):
да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся - у Вас был ответ на второй вопрос :roll: :facepalm:
На второй вопрос - это верный ответ.

gris в сообщении #1561542 писал(а):
Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$

Он действует для $n \ge 4$ :wink:

Извините, я не подумал о случае $n\ge4$. Спасибо, что сообщили мне о недостатке в моих рассуждениях!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 21:57 


20/03/14
12041
 !  nothingg
Обращение на "ты" является нарушением правил форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного
Сообщение31.07.2022, 22:43 


29/07/22
12
gris в сообщении #1561542 писал(а):
nothingg, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $n\ge 6$
Пока писал, уже написали:(

Я так понимаю вашу мысль: количество способов выбрать первую вершину равно $n$, тогда при выборе второй вершины вы разделили это на 2 случая
- Случай 1: вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки) поэтому в этом случае есть 2 способа выбрать вторую вершину. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 2 выбранные вершины, 2 вершины, смежные с первой вершиной, и вершину, смежную со второй вершиной, поэтому существует $n - 5$ способов выбрать третью.
- Случай 2: вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой поэтому в этом случае есть $n - 5$ способов выбрать вторую вершину, потому что мне нужно исключить 1 выбранную вершину, 2 вершины, смежные с первой, и 2 вершины, смежные с 2 соседними вершинами первой вершины. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 5 вершин, о которых я говорил выше, и вторую, которую я выбрал недавно, поэтому есть $n - 6$ способов выбрать третью.
Поскольку порядок вершин не имеет значения, нам нужно разделить результат на $3! = 6$.
Результат: $$\frac{n\times2\times(n-5)+n\times(n-5)\times(n-6)}{6}=\frac{n\times(n-4)\times(n-5)}{6}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group