Бесконечное деление многочленов

[pritychka]

Здравствуйте! Читаю лекцию А.И. Маркушевича по возвратным последовательностям. В ней, в качестве одного из примеров таких последовательностей предлагается последовательность коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по степеням $x$

Цитата:

Пусть $P(x) = A_0+A_1x+A_2x^2...+A_lx^l$
и $Q(x) = B_0+B_1x+B_2x^2...+B_kx^k$, где $(B_0 \ne 0)$
Будем делить $P(x)$ на $Q(x)$; если $P(x)$ не делится на $Q(x)$
без остатка, то деление можно продолжать неограниченно. В частном один за другим будут получаться члены:
$D_0+D_1x+...+D_nx^n$

Подскажите, почему при делении остатка $P(x)/Q(x)$ на многочлен $Q(x)$ получается бесконечная последовательность, еще и с возрастающими степенями х?
В качестве примера я могу привести обычное школьное деление многочленов, которое рано или поздно "заканчивается" с получением частного + остатка. Что говорит о том, что никакой последовательности не получается.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- явно полезен контекст, из которого взята процитированная фраза.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[vpb]

А с другого конца делить надо, сначала отрезая свободный член, потом линейный и т.д. Получится бесконечный ряд по возрастающим степеням икса.

(Оффтоп)

Щас написал, перечитал написанное и аж сам перекрестился: батюшки, страсти-то какие ! (Гуглим "Лорена Боббит", если что).

[Gagarin1968]

pritychka в сообщении #1559640 писал(а):

Читаю лекцию А.И. Маркушевича по возвратным последовательностям...
почему при делении остатка $P(x)/Q(x)$ на многочлен $Q(x)$ получается бесконечная последовательность, еще и с возрастающими степенями х?

pritychka
А Вы пролистайте брошюрку Маркушевича вперёд. В п.8 на стр.33 приведён пример такого деления.
По-моему, он всё Вам разъяснит.

[iifat]

Просто как пример: $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$. Если хотите убедиться, попробуйте вычислить несколько первых членов.

[pritychka]

Gagarin1968
Спасибо. И действительно разъяснил. Зря только беспокоил форумчан.

iifat
Начинаю делить и сам себе не верю, что такой результат получается. Решил подставить $x=-1$, так вообще чудеса.

[eugensk]

Если делить как в школе, тоже можно получить бесконечное деление, если разрешить отрицательные степени при x. Остаток от того и появляется, что мы себя ограничиваем неотрицательными степенями, и не можем продолжать. Когда же делится без остатка, в частном дальше будут получаться одни нули, хоть школьным способом (по убывающим степеням), хоть по возрастающим степеням.

[pritychka]

eugensk
Проблема в том, что в примере нет отрицательных степеней $x$ ни в делимом, ни в делителе, ни в частном.

[Евгений Машеров]

pritychka в сообщении #1559640 писал(а):

В качестве примера я могу привести обычное школьное деление многочленов, которое рано или поздно "заканчивается" с получением частного + остатка. Что говорит о том, что никакой последовательности не получается.

В виде ещё более простой аналогии - давайте целые числа делить. Деление заканчивается с получением целочисленных частного и остатка. Или не заканчивается, а получается бесконечная десятичная дробь. Смотря что нам надо. Либо удовлетворимся тем, что есть остаток, который далее в целых числах не делится, либо потребуем делить, пусть уже дробные будут.

[pritychka]

Евгений Машеров
Но в Вашем случае деления, остатки будут все меньше и меньше (по степеням 10). А в примере iifat $\frac{1}{1-x}$, если $x>1$, то остаток стремится к бесконечности

[iifat]

pritychka в сообщении #1559723 писал(а):

Решил подставить $x=-1$

Ну, это вам теорию рядов и степенных рядов надо читать. Всякая там схjдимость, сумма бесконечного ряда, радиус сходимости...
Но всё это не имеет отношения к вопросу. Теория возвратных последовательностей не имеет отношения к подстановке вместо $x$ чего бы то ни было. В теории многочленов оные многочлены можно рассматривать не как функции, а просто как символические выражения, не заморачиваясь не только значениями, но и вообще сходимостью.

[Евгений Машеров]

pritychka в сообщении #1559734 писал(а):

Но в Вашем случае деления, остатки будут все меньше и меньше (по степеням 10). А в примере iifat $\frac{1}{1-x}$, если $x>1$, то остаток стремится к бесконечности

Ну, я всего лишь привожу пример того, что, в зависимости как от задачи, так и от уровня знаний, получается либо "конечное с остатком", либо "бесконечное". Аналогия, конечно, весьма приблизительная.