Фазовая скорость волн де Бройля

[kzv]

Кое-где в литературе, а так же в википедии, фазовая скорость волны де Бройля определяется соотношением:

$$v_f=\frac{E}{p}=\frac{mc^2}{mv}$$

Далее говорятся какие-нибудь слова про то, что скорость получается больше скорости света, но это не страшно потому что ...(не важно).

У меня такой вопрос: почему в числитель подставляют релятивистскую формулу для полной энергии, а в знаменатель - Ньютоновскую для импульса? "Тут помню, тут не помню" получается?

[sergey zhukov]

kzv
Посмотрите, чему равны релятивистский импульс и релятивистская полная энергия ($mc^2$ - это не полная энергия, а энергия покоя).

[zykov]

kzv в сообщении #1557965 писал(а):

почему в числитель подставляют релятивистскую формулу для полной энергии, а в знаменатель - Ньютоновскую для импульса?

Потому что малые скорости рассматривают.
Энергия мало отличается от энергии покоя. Импульс мало отличается от нерелятивистского импульса.

[Pphantom]

kzv в сообщении #1557965 писал(а):

У меня такой вопрос: почему в числитель подставляют релятивистскую формулу для полной энергии, а в знаменатель - Ньютоновскую для импульса? "Тут помню, тут не помню" получается?

Это скорее у вас.

Если вы считаете, что $m c^2$ - полная энергия (и $m$, соответственно, релятивистская масса), то $mv$ - это как раз релятивистский импульс. А если без релятивистской массы обойтись, то и в числителе, и в знаменателе появится одинаковый множитель, который просто сокрастится (другое дело, что описание не слишком удачно - можно было бы сразу и массу сократить).

[kzv]

Спасибо, теперь понял.

[zykov]

Да, кстати.
Там не только для малых скоростей, а для любых это верно точно.
4-вектора $(E,pc)$ и $(c,v)$ направлены одинаково, значит $\frac{E}{pc}=\frac{c}{v}$.

[svv]

zykov в сообщении #1557988 писал(а):

4-вектора $(E,pc)$ и $(c,v)$ направлены одинаково

Второй является 4-вектором с оговорками.
Если соблюдать закон преобразования компонент 4-вектора, форма $(c,\mathbf v)$ не будет инвариантной и пересчёт компонент из $K$ в $K'$ не даст $(c, \mathbf v')$.
А если настаивать на инвариантности этой формы, тогда не будет соблюдаться закон преобразования компонент 4-вектора.

«Ближайший» 4-вектор, свободный от этого недостатка — это $(\gamma c,\gamma \mathbf v)$.

[Arks]

А почему нельзя взять обычную ньютоновскую кин. энергию? Ведь квантмех изначально нерелятивистский (это уже КТП дальше), в большинстве учебников вроде так

-- 30.06.2022, 13:17 --

Ведь когда групповую скорость считают, должно $v$ получиться

[DimaM]

Arks в сообщении #1558914 писал(а):

А почему нельзя взять обычную ньютоновскую кин. энергию? Ведь квантмех изначально нерелятивистский (это уже КТП дальше), в большинстве учебников вроде так

Это к википедикам вопрос должен быть.
У нас как раз брали классическую кинетическую энергию, и получали фазовую скорость $v/2$.

[kzv]

DimaM в сообщении #1558922 писал(а):

У нас как раз брали классическую кинетическую энергию, и получали фазовую скорость $v/2$.

Ну нормальная такая разница получается ((
Как правильно все таки считать тогда?

[DimaM]

kzv в сообщении #1559017 писал(а):

Как правильно все таки считать тогда?

Надо писать волновую функцию свободной частицы в виде $\exp(i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t))$. Дальше будет ясно.

[kzv]

DimaM в сообщении #1559023 писал(а):

kzv в сообщении #1559017 писал(а):

Как правильно все таки считать тогда?

Надо писать волновую функцию свободной частицы в виде $\exp(i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t))$. Дальше будет ясно.

Дак это комплексная запись волновой функции плоской волны, а не частицы.

[DimaM]

kzv в сообщении #1559024 писал(а):

Дак это комплексная запись волновой функции плоской волны, а не частицы.

Свободной частице соответствует плоская волна де Бройля.

[kzv]

DimaM в сообщении #1559026 писал(а):

kzv в сообщении #1559024 писал(а):

Дак это комплексная запись волновой функции плоской волны, а не частицы.

Свободной частице соответствует плоская волна де Бройля.

Да, но в вашей формуле не волна де Бройля.

[DimaM]

kzv в сообщении #1559027 писал(а):

Да, но в вашей формуле не волна де Бройля.

А если подставить ${\bf k}={\bf p}/\hbar,\; \omega=E/\hbar$?