Момент инерции

[Future engineer-builder]

Объясните как определяется момент инерции проволочного равностороннего треугольника в двух случаях: 1) когда неподвижная ось вращения лежит в плоскости треугольника и проходит через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине; 2) когда неподвижная ось вращения лежит в плоскости треугольника и проходит вдоль одной из его сторон.

[GAA]

Пусть кривая задана параметрически: $x=x(t), y=y(t)$, $ t_1 <t < t_2$, тогда момент инерции кривой относительно оси($I$, криволинейный интеграл первого рода) сводится к определенному интегралу
$I = \int_{t_1}^{t_2} r^2(t) \rho(t) \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}dt$,
где $r$ — расстояние от оси до точки кривой, соответствующей параметру $t$, $\rho$ — линейная плотность, $\dot{x} = dx/dt$.
В частности, если в качестве параметра выступает $x$, т.е. кривую можно представить в виде $y=y(x)$, то
$I = \int_{x_1}^{x_2} r^2(x) \rho(x) \sqrt{1+y’^2}dx$,
где $x_1$, $x_2$ абсциссы начала и конца кривой, $y’$ — производная $y$ по $x$.
В Вашем примере, можно использовать как раз этот частный случай, совмещая ось $OY$ c осью вращения.

[Future engineer-builder]

Все так сложно! - этого нет в учебнике. Я-то думал, например на счет первого варианта, по теореме Штейнера момент инерции треугольника состоит из моментов инерции треугольника относительно своей оси (оси симметрии) и относительно смещенной оси, проходящей через его вершину.

[GAA]

Добавлю. В указанных Вами примерах ничего не говорится о плотности. В таких случаях принято считать, что она постоянная.

[Future engineer-builder]

Пусть даны масса $m$и сторона треугольника $b$, тогда
$J=J_0+md^2$
$J_0=\int_0^ld^2dm=\int_0^ld^2pdl=\int_0^lmd^2dl/l$,
где $p$-линейная плотность стержня треугольника
$dl$-бесконечно малая часть длины треугольника
$m$-масса треугольника
$l$-длина треугольника
$d$-расстояние от оси вращения до противоположной стороны, которая параллельна оси вращения

[GAA]

$m/l$ — это плотность, которую я обозначал выше через $\rho$. В данном случае она константа. Ее можно обозначить через $C$. Если совместим ось $OY$ c осью вращения, то формула для вычисления примет вид $ I = С \int_{x_1}^{x_2} x^2 \sqrt{1+y’^2}dx$.
Ось $OX$ удобно выбрать, так что бы она проходила через ось симметрии.

Добавлено спустя 9 минут 46 секунд:

Если сравните с вашей формулой, то увидите, что моё $r$ — это Ваше $d$.

[Future engineer-builder]

Я не понял, что такое $x$ и откуда взялся корень?

[GAA]

А Ваше $dl$ — дифференциал дуги — это $\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}dt$, в частности, $\sqrt{1+y’^2(x)}dx$.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

$x$ --- это расстояние от оси до точки кривой при данном выборе системы координат.

Добавлено спустя 10 минут 14 секунд:

В первом примере, при интегрировании по стороне противоположной вершине, через которую проходит ось вращения, конечно, в качестве параметра можно выбрать $y$, т.е. считать x=x(y), тогда $dl = \sqrt{1+x’^2(y)}dy$.

[Future engineer-builder]

Извините, но можно как-нибудь рассмотреть треугольник по частям - каждый стержень в отдельности? А то мне данный способ ну очень не понятен.

[GAA]

Второй пример проще. Начнем с него. Нарисуйте у себя на бумаге рисунок. Запишите здесь на Форуме уравнения сторон, которые не лежат на оси вращения (в виде $y(x)$, $x_1 < x < x_2$). Вычислите интеграл вдоль одной стороны, затем — вдоль другой, после этого сложите. На самом деле в силу симметрии интегралы равны, но тренироваться надо.

[Архипов]

Автор просил про момент инерции равностороннего треугольника из проволоки. Нужно вывести формулу для наклонного стержня $dJ=*p*(x^2*sin^2(60)*dx$_$J=m*L^2/4$
Для первого случая $J=(m/3)*(2L^2/4+L^2)=mL^2/2$
Для второго случая $J=(m/3)*2L^2/4=mL^2/6$
Нужна проверка... m - масса проволоки, L - длина стороны, то есть 1/3 длины проволоки.

[mkot]

Future engineer-builder писал(а):

Извините, но можно как-нибудь рассмотреть треугольник по частям - каждый стержень в отдельности? А то мне данный способ ну очень не понятен.

GAA писал(а):

Второй пример проще. Начнем с него. Нарисуйте у себя на бумаге рисунок. Запишите здесь на Форуме уравнения сторон, которые не лежат на оси вращения (в виде $y(x)$, $x_1 < x < x_2$). Вычислите интеграл вдоль одной стороны, затем — вдоль другой, после этого сложите. На самом деле в силу симметрии интегралы равны, но тренироваться надо.

Неплохо было бы понять чему равен момент инерции и третьего стержня.

[GAA]

Пожалуйста, Архипов, не надо приводить ответы к элементарным примерам! (См. n. 3 раздела III правил Форума). Надо помочь с классом примеров, а не помогать вычислять для каждого отдельного случая: сейчас треугольник, завтра дуга окружности.

[peregoudov]

Future engineer-builder

Я бы рекомендовал такой порядок:

1) разобраться с определением момента инерции в "дискретном" случае $J=\sum_i m_iR_i^2$, то есть понять, что означают входящие в формулу величины и решить несколько задачек на моменты инерции грузиков (материальных точек), соединенных невесомыми стержнями;
2) разобраться с теоремой Штейнера $J=J_c+ma^2$ в "дискретном" случае (на непрерывный она переносится без проблем), то есть понять, что означают входящие в формулу величины, как теорема выводится и решить несколько задачек, в которых один из моментов инерции заранее известен (например, из справочника);
3) разобраться с вычислением момента инерции стержня относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через середину (=центр масс). Решение и ответ есть практически во всех книжках $J_c=mL^2\!/12$;
4) в "дискретном" случае на основании определения момента инерции понять, что изменится, если ось будет не перпендикулярна, а под произвольным углом $\alpha$ к стержню. (Ответ: $J_c=mL^2\sin^2\alpha/12$);
5) решить свою задачу, воспользовавшись аддитивностью момента инерции, теоремой Штейнера и результатом пункта 4).

[Шимпанзе]

Момент инерции сплошного треугольника тоже известен. Поэтому, видимо, можно сразу воспользоваться теоремой Штейнера.