Момент инерции

[Future engineer-builder]

С треугольником все понятно - решил, находя момент инерции каждого стержня по отдельности.

Теперь непонятно, почему момент инерции тонкого однородного кольца (известны $R$ и $m$) относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр, равна $J=mR^2/2$, в то время как относительно оси, проходившей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, $J=mR^2$?

[GAA]

В первом случае, удобно воспользоваться параметрическим уравнением окружности: $x= R\cos{t}$, $y = R\sin{t}$, $0< t < 2\pi$. Здесь начало координат совмещаем с центром окружности, ось $OY$ направляем вдоль оси вращения. $r = x$. Вычисляем производные, подставляем в приведенную в моём первом сообщении формулу; вычисляем интеграл.

Во втором случае, расстояние от оси до точек кривой постоянное, поэтому может быть вынесено за знак интеграла, а, учитывая и то, что плотность постоянная, получаем: под интегралом останется только $dl$. Интеграл от $dl$ по всей кривой равен её длине (длине окружности).

[Future engineer-builder]

Не получается расчет момента инерции однородной прямоугольной пластины массой $m$ относительно оси, проходящей через одну сторону, если другая дана $a$.

$J=J_0+md^2$
$J_0=\int _0^b^/^2 r^2mdr/b$
$J=\int _0^b^/^2 r^2mdr/b+mb^2/4$

[GAA]

Выбрав систему координат так, чтобы ось $OY$ была параллельна оси вращения и совместив начало координат с центом масс, можем записать
$J_0 = \frac{m}{a}\int\limits_{-a/2}^{a/2}x^2dx$, $J = J_0 + ma^2/4$.

Добавлено спустя 40 минут:

Однако в применении теоремы Штейгера, в данном примере, смысла я не вижу. Можно просто свисти двойной интеграл $J = \int_S m/(ab) r^2dS $ к повторному, который распадается в произведение интегралов. Пусть $OY$ совпадает с осью L, относительно которой ищется момент инерции, а начало координат помещено в такую вершину, расположенную на оси L, что вторая расположенная на этой оси вершина имеет положительную ординату. Ось $OX$ выберем так, чтобы не лежащие на L вершины имели положительные абсциссы (прямоугольник лежит в первой четверти).
$J = \frac{m}{ab} \int_0^b dy \cdot \int_0^a x^2 dx = \frac{m}{a} \int_0^a x^2 dx$.

[Future engineer-builder]

А картинка вот здесь
http://www.sharemania.ru/0194458

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Я разобрал предлагаемый Вами способ, но хотел бы для себя понять в данном случае метод Штейнера.

[GAA]

Что непонятно в метод Штейнера?

[Future engineer-builder]

Ответ методом, заключенный в произведении интегралов, не сходится с ответом, полученный методом Штейнера.

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Ответ методом, заключенный в произведении интегралов, не сходится с ответом, полученный методом Штейнера.

В моем сообщении выше два метода дают один и тот же ответ! Проверил!

[Future engineer-builder]

Чем плох мой вариант?

$J=J_0+md^2$
$J_0=\int _0^a r^2(m/a)dr$
$J=\int _0^a r^2(m/a)dr+m(a^2/4)$

[GAA]

Future engineer-builder писал(а):

Чем плох мой вариант?
$J=J_0+md^2$
$J_0=\int _0^a r^2(m/a)dr$
$J=\int _0^a r^2(m/a)dr+m(a^2/4)$

Тем, что $J_0$ записан неправильно! Выше я писал правильное выражение для $J_0$ — момента относительно оси проходящей через центр масс.

Добавлено спустя 25 минут 20 секунд:

Примечание. При использовании теоремы Штейнера, вычисляя $J_0$, также имеем двойной интеграл, который, при сведении к повторному распадается в произведение интегралов. Просто за счет того, что пластинка однородная это столь тривиально, что и не оговаривается. Если Вам это непонятно пропустите, а рассуждайте так. В данном примере в обоих подходах момент можно выразить однократным интегралом, рассматривая линейную плотность $m/a$, т.е. массу, приходящуюся на единицу длины пластинки в направлении перпендикулярном оси L (оси относительно которой ищется момент). Выше, отмечая бесполезность теоремы Штейнера, я говорил не о кратности интеграла, а о том, что нет никакого смысла вычислять сначала $J_0$, а затем $J$. Проще сразу вычислять $J$. Тем более, что вместо настоящего $J_0$, Вы, как раз, $J$ и вычисляете: $J = \int_0^a (m/a) r^2 dr$.

[Future engineer-builder]

Проверьте, пожалуйста, ход моих решений:

$J_0=\int r^2dm$
$dm=\tau dS=(m/S) dS$: $S=a$, т.к. бесконечно малая пластинка настолько тонкая, что не имеет ширины $b$
$dS=adx$: изменение площади $dS$ бесконечно малой пластинки равно произведению ее длины $a$ на изменения ее ширины $dx$
$r=x$ - параметр длины $a$, который изменяется по всей длине пластины (ВОПРОС: почему он не изменяется от $0$ до $a$, а от $-a/2$ до $a/2$)
$dm=(m/a)adx=mdx$

$J_0=m\int x^2dx$

[GAA]

Добавьте в сообщении выше определение $J_0$.

Добавлено спустя 34 минуты 10 секунд:

(Не дождался определения $J_0$)

Future engineer-builder писал(а):

$dm=\tau dS=(m/S) dS$

В случае существования плотности (существование всегда подразумевается в задачниках для студентов всех специальностях, кроме «Математика») $dm=\tau dS$. Поэтому правильно. Плотность $\tau = m/S$ только для однородных поверхностей, в данном примере как раз поверхность однородная. Правильно.

Future engineer-builder писал(а):

$S=a$, т.к. бесконечно малая пластинка настолько тонкая, что не имеет ширины $b$

Грубая ошибка или недоразумение! $S=ab$.

Future engineer-builder писал(а):

$dS=adx$: изменение площади $dS$ бесконечно малой пластинки равно произведению ее длины $a$ на изменения ее ширины $dx$

Неправильно. В данном примере можно считать $dS=bdx$ (прямоугольный столбик высоты $b$ и ширины $dx$).

Future engineer-builder писал(а):

$r=x$ - параметр длины $a$, который изменяется по всей длине пластины

Нет! $r$ — это расстояние от оси до точки пластины.
$J_0$ — это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
Одна половина пластинки лежит слева от этой оси, а вторая половина — справа. Поэтому $x$ изменяется от $-a/2$ до $a/2$ (ось $OY$ совмещаем с осью, относительно которой ищем момент инерции).

Добавлено спустя 19 минут 8 секунд:

Future engineer-builder писал(а):

А картинка вот здесь
http://www.sharemania.ru/0194458

Ссылка на картинку не являются формулировкой условия или его пояснением. Приводите, пожалуйста, описание здесь на Форуме, словами.