Как траектория выходит из плоскости?

[Pphantom]

metelev в сообщении #1556998 писал(а):

Согласен, да, строго говоря только на полюсах. Но основная мысль понятна же.

Не совсем. Полюс - особый случай (фактически такой же, как равномерное движение по окружности), ускорение определенным образом соотносится со скоростью.

metelev в сообщении #1556998 писал(а):

Можно ещё так переформулировать. Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени. Для того, чтобы сказать будет ли движение осуществляться в одной плоскости или нет, такого знания недостаточно.

Да, в таком варианте это верно.

[DimaM]

metelev в сообщении #1556998 писал(а):

Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.

Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1557001 писал(а):

metelev в сообщении #1556998 писал(а):

Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.

Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.

Да нет, формально все точно. Чтобы знать, что движение происходит не по прямой, неколлинеарности силы и ускорения в один момент времени достаточно. А вот обратное утверждение неверно.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1557003 писал(а):

А вот обратное утверждение неверно.

Ага. Утвердительный ответ дать можно, а отрицательный нет.

[sergey zhukov]

metelev
Производная силы вдоль касательной к траектрии может быть любой. В том числе она может иметь компоненты, перпендикулярные соприкасающейся плоскости.

[metelev]

DimaM в сообщении #1557001 писал(а):

Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.

Это же не математический раздел форума, так что достаточно

Я тут вспомнил, у Владимира Ивановича Смирнова в "Курсе высшей математики" читал про то, почему происходят рывки в поезде, несмотря на то, что рельсы стыкуются плавно. Ну вот потому, что кривизна на повороте и на прямом участке меняется скачком.

Тем не менее понятно, что и в этом случае ускорение как-то нарастает за конечное время и что скачкообразных изменений в нашем мире не бывает.

-- 10.06.2022, 13:47 --

sergey zhukov
Где-то там у Ландау в первой книжке я читал рассуждения про то, что в механике важна первая производная от координаты (скорость), вторая (ускорение), а дальше уже не важно. Ну вот, получается что в некоторых случая и третья производная может оказаться важной.

[SNS2D]

metelev в сообщении #1556998 писал(а):

Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.

Рассмотрим бесконечно дифференцируемую (но не аналитическую) функцию вещественной переменной

$$ f(x) = \begin{cases} 0, &\text{если $x\leqslant 0$};\\ g(x) = \exp\left(\displaystyle -\frac{1}{x}\right), &\text{если $x > 0$}. \end{cases} $$

Пусть плоское движение частицы задается формулами $x(t) = t$, $y(t) = f(t)$. При $t \leqslant 0$ сила, действующая на частицу, равна нулю (не только первая, но и все вообще производные вектора скорости по времени при $t = 0$ равны нулю), но тем не менее при любом сколь угодно малом $t > 0$ имеем $y(t) > 0$, т.е. траектория выходит из прямой $y=0$. Это стандартная иллюстрация того обстоятельства, что для гладкой функции обращение в ноль всех производных в некоторой точке, вообще говоря, не приводит к постоянству функции в какой бы то ни было окрестности этой точки. Другими словами, все производные гладкой функции могут в некоторой точке обращаться в ноль, но при этом отклоняться от константы в окрестности этой точки функция может очень разными способами. Можно было бы в качестве $g(x)$ взять $x^n$ при достаточно большом $n$; в механике это ничего не изменило бы, но траектория перестала бы быть гладкой.

[metelev]

SNS2D

Спасибо, интересно.

[sergey zhukov]

SNS2D
Вот идеальная кривая для стыка прямого и кривого участка рельс: производные всех порядков на стыке гладкие.

[SNS2D]

sergey zhukov в сообщении #1557020 писал(а):

SNS2D
Вот идеальная кривая для стыка прямого и кривого участка рельс: производные всех порядков на стыке гладкие.

Нет предела совершенству; вот ещё более идеальная кривая: возьмите $g(x) = \exp\left(\displaystyle -\frac{1}{x^2}\right)$. В реальности для этого используют спираль Корню --- у неё кривизна пропорциональна длине дуги, и этого вполне достаточно, чтобы избежать т.н. ``мягкого удара''.

[Walker_XXI]

metelev в сообщении #1557006 писал(а):

Где-то там у Ландау в первой книжке я читал рассуждения про то, что в механике важна первая производная от координаты (скорость), вторая (ускорение), а дальше уже не важно. Ну вот, получается что в некоторых случая и третья производная может оказаться важной.

Вообще-то у Ландау немного иначе сказано. Кстати, аналогичное замечание есть и в $\S1$ "Математических методов классической механики" В.И.Арнольда (вероятно, и в других учебниках есть - не помню). Смысл же замечания в том, что мир устроен так, что всё возможно в нём уравнения движения механической системы - это диффуры второго порядка относительно функции зависимости координат от времени.