Как траектория выходит из плоскости?

[metelev]

У Дмитрия Васильевича Сивухина в 1-м томе его курса физики, "Механика", в §4. Скорость и ускорение при криволинейном движении, пункт 5, на странице 43 (в издании 2005 года) сказано, что вектор ускорения не имеет составляющей по бинормали к траектории.

Цитата:

5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направленно к ее центру, т. е. перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по любой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по модулю. Не так будет, когда меняется также и модуль скорости. Чтобы разобраться в этом вопросе, представим вектор скорости в виде $\mathbf{v} = v\mathbf{s}$. Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим

$\mathbf{a}=\frac{d}{dt}(v\mathbf{s})=\frac{dv}{dt}\mathbf{s}+v\frac{d\mathbf{s}}{dt}$

или ввиду формулы (4.9)

$\mathbf{a}=\frac{dv}{dt}\mathbf{s}+\frac{v^2}{r}\mathbf{n}$ (4.11)


Отсюда следует, что вектор ускорения $\mathbf{a}$ лежит в плоскости векторов $\mathbf{s}$ и $\mathbf{n}$, т. е. в соприкасающейся плоскости; вектор $\mathbf{a}$ не имеет составляющей по бинормали к траектории.

Здесь $\mathbf{s}$ --- единичный вектор касательной, $\mathbf{n}$ --- единичный вектор нормали.

Дочитав до этого места, я подумал, что вектор скорости тоже полностью лежит в соприкасающейся плоскости, потому что соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную, а скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Как же траектория выходит из соприкасающейся плоскости, если ни скорость ни ускорение не имеют компоненты в направлении бинормали?

Если траектория жёстко задана, как например бусина по проволочке, то там видимо могут появляться производные более высоких порядков. А если нет, то силы определяют ускорения и нет ничего такого, что могло бы повлиять на производные высших порядков. Правильно? Или что-то я упускаю?

[DimaM]

Так соприкасающаяся плоскость в другой точке траектории может быть другой.

[metelev]

DimaM в сообщении #1556960 писал(а):

Так соприкасающаяся плоскость в другой точке траектории может быть другой.

Это понятно. Непонятно, как осуществляется переход к этой другой плоскости. Точнее не то, чтобы непонятно, а сложно представить, как это реализуется. В плоском случае чтобы движение отклонилось от прямой нужна сила перпендикулярная этой прямой. В объёмном случае в каждый данный момент времени у нас нет силы, которая выводила бы движение из соприкасающейся плоскости и тем не менее траектория из неё может выходить.

[DimaM]

Про производные высших порядков: если меняется ускорение (по модулю или по направлению), производные высших порядков очевидно не равны нулю.
Остальное очень Зеноном отдает :(.

[Mihr]

metelev, а Вы конкретный пример движения вдоль неплоской кривой разберите, и, я думаю, станет понятнее. Пусть, например, заряженная частица влетела в вертикальное однородное магнитное поле под острым углом к вертикали. Что собой представляет её дальнейшая траектория? Что "заставляет" поворачиваться соприкасающуюся плоскость? Сила? Или какая-то иная причина?

[Someone]

metelev в сообщении #1556963 писал(а):

В объёмном случае в каждый данный момент времени у нас нет силы, которая выводила бы движение из соприкасающейся плоскости и тем не менее траектория из неё может выходить.

Вы почему-то считаете, что соприкасающаяся плоскость всегда одна и та же. С какой стати?

[metelev]

Mihr
Как-то так и представилось в конце концов. Если сила закручивается по спирали, что в магнитном поле получается при изменении направления движения, то получается выход из плоскости.

Someone
Я могу себе представить какую-то произвольную линию в пространстве, и понимаю что в каждой точке у неё своя соприкасающаяся плоскость. Вопрос был в том, каким образом при движении происходит переход от одной плоскости к другой, при том что нет ускорения, и соответственно силы, которая выводила бы материальную точку из плоскости.

Ну и вот, в конце концов представил себе что сила закручивается винтом вокруг направления движения. Наверное это единственный способ вывести траекторию из плоскости.

[Mihr]

metelev,
мне не очень понятно, что значит

metelev в сообщении #1556972 писал(а):

сила закручивается по спирали

но если для Вас этот вопрос снят, то и ладно.

[Someone]

metelev в сообщении #1556972 писал(а):

Ну и вот, в конце концов представил себе что сила закручивается винтом вокруг направления движения.

???
Соприкасающаяся плоскость — это плоскость, в которой лежат векторы скорости и силы. Сила со временем меняется, и её вектор не обязан лежать постоянно в одной и той же плоскости. Никакой дополнительной силы для этого не требуется.

[metelev]

Mihr в сообщении #1556973 писал(а):

мне не очень понятно, что значит

Ну, скажем, если взять маятник Фуко, то сила меняется по величине и направлению, но колебания из плоскости не выходят.

Причём ситуация, когда сила выходит из плоскости на одну и ту же величину на протяжении всей траектории тоже не годится, потому что тогда просто соприкасающаяся плоскость повернётся так, чтобы сила оставалась в плоскости.

Единственный мыслимый вариант для получения неплоской траектории, когда "выход из плоскости" меняет свою величину.

Someone в сообщении #1556978 писал(а):

Никакой дополнительной силы для этого не требуется.

Согласитесь, всё-таки, что плоский случай отличается от объёмного. Отклонение от прямой в плоском случае означает, что в данной точке перпендикулярно прямой действует сила, которая отклоняет наш объект. В объёмном случае в точке нахождения тела нет никакой силы, которая выводила бы тело за пределы соприкасающейся плоскости. Даже при том, что сила меняет своё направление, в той точке где находится тело она действует в соприкасающейся плоскости.

[Sender]

Если рассмотреть фиксированную плоскость $P$, с которой в некоторый момент совпала соприкасающаяся плоскость, то, несмотря на то, что в данный момент времени компонента ускорения, нормальная к плоскости $P$, равна нулю, в следующий момент времени, вообще говоря, это может быть и не так.

[DimaM]

metelev в сообщении #1556986 писал(а):

Ну, скажем, если взять маятник Фуко, то сила меняется по величине и направлению, но колебания из плоскости не выходят

Если не точно на полюсе - таки выходят.

[sergey zhukov]

Цитата:

Вокруг стеклянного плафона под потолком обессиленно мотались три мухи — должно быть, первые мухи в этом году. Время от времени они вдруг принимались остервенело кидаться из стороны в сторону, и спросонок мне пришла в голову гениальная идея, что мухи, наверное, стараются выскочить из плоскости, через них проходящей, и я посочувствовал этому безнадёжному занятию.

Стругацкие. "Понедельник начинается в субботу".

[Pphantom]

metelev в сообщении #1556986 писал(а):

Ну, скажем, если взять маятник Фуко, то сила меняется по величине и направлению, но колебания из плоскости не выходят.

Выходят. Исключение - маятники на географических полюсах и экваторе.

[metelev]

DimaM
Pphantom

Согласен, да, строго говоря только на полюсах. Но основная мысль понятна же.

Можно ещё так переформулировать. Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени. Для того, чтобы сказать будет ли движение осуществляться в одной плоскости или нет, такого знания недостаточно.