2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24897
Кронштадт
metelev в сообщении #1556998 писал(а):
Согласен, да, строго говоря только на полюсах. Но основная мысль понятна же.
Не совсем. Полюс - особый случай (фактически такой же, как равномерное движение по окружности), ускорение определенным образом соотносится со скоростью.
metelev в сообщении #1556998 писал(а):
Можно ещё так переформулировать. Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени. Для того, чтобы сказать будет ли движение осуществляться в одной плоскости или нет, такого знания недостаточно.
Да, в таком варианте это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:28 
Заслуженный участник


28/12/12
7110
metelev в сообщении #1556998 писал(а):
Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.

Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24897
Кронштадт
DimaM в сообщении #1557001 писал(а):
metelev в сообщении #1556998 писал(а):
Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.

Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.
Да нет, формально все точно. Чтобы знать, что движение происходит не по прямой, неколлинеарности силы и ускорения в один момент времени достаточно. А вот обратное утверждение неверно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:40 
Заслуженный участник


28/12/12
7110
Pphantom в сообщении #1557003 писал(а):
А вот обратное утверждение неверно.

Ага. Утвердительный ответ дать можно, а отрицательный нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:41 


17/10/16
1738
metelev
Производная силы вдоль касательной к траектрии может быть любой. В том числе она может иметь компоненты, перпендикулярные соприкасающейся плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:44 
Аватара пользователя


20/03/12
244
СПб
DimaM в сообщении #1557001 писал(а):
Не-а. Потому как в другой момент времени направление силы (и скорости) может измениться.


Это же не математический раздел форума, так что достаточно :-)

Я тут вспомнил, у Владимира Ивановича Смирнова в "Курсе высшей математики" читал про то, почему происходят рывки в поезде, несмотря на то, что рельсы стыкуются плавно. Ну вот потому, что кривизна на повороте и на прямом участке меняется скачком.

Тем не менее понятно, что и в этом случае ускорение как-то нарастает за конечное время и что скачкообразных изменений в нашем мире не бывает.

-- 10.06.2022, 13:47 --

sergey zhukov
Где-то там у Ландау в первой книжке я читал рассуждения про то, что в механике важна первая производная от координаты (скорость), вторая (ускорение), а дальше уже не важно. Ну вот, получается что в некоторых случая и третья производная может оказаться важной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 13:52 


11/05/22
17
metelev в сообщении #1556998 писал(а):
Чтобы сказать, будет ли движение отличаться от движения по прямой, достаточно знать направление скорости и силы в данной точке в данный момент времени.


Рассмотрим бесконечно дифференцируемую (но не аналитическую) функцию вещественной переменной
$$
f(x) = \begin{cases}
       0, &\text{если $x\leqslant 0$};\\
       g(x) = \exp\left(\displaystyle -\frac{1}{x}\right), &\text{если $x > 0$}.
       \end{cases}
$$
Пусть плоское движение частицы задается формулами $x(t) = t$, $y(t) = f(t)$. При $t \leqslant 0$ сила, действующая на частицу, равна нулю (не только первая, но и все вообще производные вектора скорости по времени при $t = 0$ равны нулю), но тем не менее при любом сколь угодно малом $t > 0$ имеем $y(t) > 0$, т.е. траектория выходит из прямой $y=0$. Это стандартная иллюстрация того обстоятельства, что для гладкой функции обращение в ноль всех производных в некоторой точке, вообще говоря, не приводит к постоянству функции в какой бы то ни было окрестности этой точки. Другими словами, все производные гладкой функции могут в некоторой точке обращаться в ноль, но при этом отклоняться от константы в окрестности этой точки функция может очень разными способами. Можно было бы в качестве $g(x)$ взять $x^n$ при достаточно большом $n$; в механике это ничего не изменило бы, но траектория перестала бы быть гладкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 14:09 
Аватара пользователя


20/03/12
244
СПб
SNS2D

Спасибо, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 16:24 


17/10/16
1738
SNS2D
Вот идеальная кривая для стыка прямого и кривого участка рельс: производные всех порядков на стыке гладкие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение10.06.2022, 17:49 


11/05/22
17
sergey zhukov в сообщении #1557020 писал(а):
SNS2D
Вот идеальная кривая для стыка прямого и кривого участка рельс: производные всех порядков на стыке гладкие.


Нет предела совершенству; вот ещё более идеальная кривая: возьмите $g(x) = \exp\left(\displaystyle -\frac{1}{x^2}\right)$. В реальности для этого используют спираль Корню --- у неё кривизна пропорциональна длине дуги, и этого вполне достаточно, чтобы избежать т.н. ``мягкого удара''.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как траектория выходит из плоскости?
Сообщение22.06.2022, 18:14 
Заслуженный участник


01/06/15
1117
С.-Петербург
metelev в сообщении #1557006 писал(а):
Где-то там у Ландау в первой книжке я читал рассуждения про то, что в механике важна первая производная от координаты (скорость), вторая (ускорение), а дальше уже не важно. Ну вот, получается что в некоторых случая и третья производная может оказаться важной.
Вообще-то у Ландау немного иначе сказано. Кстати, аналогичное замечание есть и в $\S1$ "Математических методов классической механики" В.И.Арнольда (вероятно, и в других учебниках есть - не помню). Смысл же замечания в том, что мир устроен так, что всё возможно в нём уравнения движения механической системы - это диффуры второго порядка относительно функции зависимости координат от времени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group