2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 06:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
VAL

Для для $k=70$ доказательство не сводилось в одной теме, и там действительно приходится продираться сквозь обсуждения.
Если хотите - вечером могу свести, но не в этой теме, а в "Пентадекатнлоне...". Эту бы тему использовал только для обсуждения общего случая.

VAL в сообщении #1555502 писал(а):
Можно еще раз, например, про невозможность случая $3^6\cdot a^4-1=2^3\cdot b^6\cdot c$.

VAL в сообщении #1555502 писал(а):
Но невозможность приведенного выше случая только что доказал. Это оказалось проще, чем продраться сквозь наши обсуждения :-)


Кстати, этот случай самый тяжёлый (с $k=70$ просто повезло, что удалось быстро подобрать модуль для исключения). А в общем случае пришлось повозиться.

"Сестринский случай": $3^4 \cdot a^6 -1=2^3\cdot b^6\cdot c$ (и его обобщение) исключается по Малой Теореме Ферма (для $k=70$ по модулю $7$) после известных манипуляций с сокращением степени двойки и выражения $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 09:19 


21/04/22
330
VAL
В этой теме доказательство изложено в общем виде.
VAL в сообщении #1555502 писал(а):
$3^6\cdot a^4-1=2^3\cdot b^6\cdot c$

Этот случай в общем виде рассматривается во втором сообщении темы. В разделе lll.1 упоминается, что в случае, когда $p = 5$ общее доказательство не проходит и нужно рассмотреть этот случай отдельно. Это делается в третьем сообщении темы. Далее в разделе Vl написано, что после всего этого доказательства для случая $p = 5$ $q = 7$ остаются нерассмотренными только два следующих уравнения.
$$2a^6(2a^6+2) = 3^6d^4-1$$
$$2a^6(2a^6+2) = 3^4d^6-1$$
Именно они неразрешимы по модулю 27 (второе, кстати, неразрешимо и по модулю 7).

-- 26.05.2022, 09:33 --

EUgeneUS
Ваше доказательство случая $p = 5$ проверил. Ошибок не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 09:50 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
mathematician123 в сообщении #1555511 писал(а):
VAL
В этой теме доказательство изложено в общем виде.
Спасибо!
Для 70 я в итоге передоказал сам.
Может и в общем случае для меня будет проще поступить также. Типа "чукча - не читатель, чукча - писатель" :-)
А может теперь и разберусь с написанным. Появилась хоть какая-то психологическая уверенность. А то для 70 народ пишет "доказали, доказали...", а я в упор не вижу где.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 12:40 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1555511 писал(а):
Ваше доказательство случая $p = 5$ проверил. Ошибок не нашёл.


Прекрасно. Настал очередной момент для сведения результатов в кучу. Как показал опыт на форуме это делать крайне неудобно. Видимо, придется осваивать какой-какой-нибудь он-лайн ЛаТеХ.

VAL в сообщении #1555513 писал(а):
Для 70 я в итоге передоказал сам.

Прекрасно. А там, где использовались проверки по модулю $27$, у Вас также или использовалось что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 15:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
EUgeneUS в сообщении #1555539 писал(а):
А там, где использовались проверки по модулю $27$, у Вас также или использовалось что-то другое?
Другое. Из четырех вариантов первого уровня один отпал сразу, а 3 остальных распались на 4 подварианта каждый.
При отбраковке использовалось лишнее количество попарно взаимно простых делителей и рассуждения по модулям 3, 8, 7. Впрочем, как водится, все надо уточнить. Делал вчера ночью.

Общий случай осилил пока лишь частично. Но волевым решением раскомментировал строки с $2pq$ делителей в своей таблице.
По ходу обнаружилось, что из краткой (без начальных чисел цепочек) таблицы загадочным образом пропала часть чисел, которые остались в полной.
Сиреневым выделены реабилитированные (но не случайно пропавшие) значения, зеленым - новые.


Вложения:
All_even_M(k)_proved.pdf [78.65 Кб]
Скачиваний: 154
Table_I_26-05-22.pdf [139.71 Кб]
Скачиваний: 160
table_II_25-05-22.pdf [60.86 Кб]
Скачиваний: 162
 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 16:37 


21/04/22
330
mathematician123 в сообщении #1555356 писал(а):
$$2^{p-3} -1 = 3^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2}$$. Случай с $+1$ невозможен по модулю 3.

-- 24.05.2022, 22:55 --

Лемма. Если $2^x-1$ делится на $3^y$, то $x$ делится на $2 \cdot 3^{y-1}$

Применяя эту лемму получаем, что $p-3$ делится на $2 \cdot 3^{\frac{p-3}{2}}$, что невозможно при достаточно большом $q$.

Оказывается, здесь всё гораздо проще. Равенство $2^{p-3} -1 = 3^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2}$ невозможно по модулю 9.

mathematician123 в сообщении #1555356 писал(а):
Здесь я неверно применяю лемму. Правильно так: применяя эту лемму, получаем, что $\frac{q-1}{2}$ делится на $2^{\frac{q-7}{2}}$, что невозможно при достаточно большом $q$.

Уточняю, что эта делимость невозможна при $q > 11$.

-- 26.05.2022, 16:40 --

EUgeneUS в сообщении #1555485 писал(а):
ОК. Тогда надо будет её не забыть сделать.

Из сказанного выше следует, что нужно будет также сделать однократные проверки в случаях $p = 5, q = 11$ и $p = 7, q = 11$.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 21:12 


21/04/22
330
Кажется, в доказательстве нет ни одного места, где существенно используется, что $p \ne q$. Может быть, доказательство работает и в этом случае, то есть $M(2p^2) \le 3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение26.05.2022, 23:20 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
mathematician123 в сообщении #1555581 писал(а):
Кажется, в доказательстве нет ни одного места, где существенно используется, что $p \ne q$. Может быть, доказательство работает и в этом случае, то есть $M(2p^2) \le 3$?
Я все еще не все прошерстил. Но полагаю, что так и есть. По крайней мере, в тех ослабленных вариантах, которые я доказал ранее, $p=q$ никогда не мешало.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 05:32 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1555581 писал(а):
Может быть, доказательство работает и в этом случае, то есть $M(2p^2) \le 3$?


В файле Хуго указано:
Код:
# L(25) = 3
...
# L(49) = 3


Поэтому полагал, что $M(2p^2) \le 3$ уже доказано :facepalm:
Если же общего доказательства для $p^2$ не было, то конечно, надо (попытаться) расширить доказательство и на этот случай.
Полагаю это только добавит случай $p=q=5$ "при исключении конечных переборов. Но это, конечно, надо проверять.

Кстати, если "конечные переборы" исключены всегда, то рассуждения о $gcd((p-1)/2, (q-1)/2)$ могут оказаться лишними (опять же нужно внимательно посмотреть все случаи).

На ближайших выходных планирую набить доказательство в Overleaf (первую итерацию, и без исключения некоторых конечных переборов - тут ожидается участие mathematician123).

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 09:47 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
VAL
mathematician123

(про текст на OverLeaf)

Обнаружил, что на бесплатном аккаунте OverLeaf можно "расшарить" проект только для одного человека :(
Можети быть у кого-то из Вас есть более продвинутый аккаунт? Тогда можно было бы создать в этом аккаунте заготовку и расшарить, хотя бы на нас троих...

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 10:40 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
EUgeneUS в сообщении #1555613 писал(а):
VAL
mathematician123
Обнаружил, что на бесплатном аккаунте OverLeaf можно "расшарить" проект только для одного человека :(
Можети быть у кого-то из Вас есть более продвинутый аккаунт? Тогда можно было бы создать в этом аккаунте заготовку и расшарить, хотя бы на нас троих...
Снял тег off, поскольку это, IMHO, не оффтопик. (А если оффтопик, но надо перенести в "Пентадекатлон".)

Расшаривать проект нужно не на троих (на троих другое делают), а на всех, соавторов статьи.
Поскольку доказательство планируется именно туда.

У меня есть аккаунт на Papeeeria.
Прошлый раз я писал, что у меня таблица там не захотела компилироваться.
Сейчас попробовал, вроде, работает. И расшарить позволяет более чем на одного человека.
Так что, можно попытаться сорганизоваться там. Для этого мне нужны e-mail'ы участников.

Но есть "но". Я так и не разобрался там с русификацией :-(
Но есть и "контрно". "Я не разобрался" не означает, что никто не разберется.
Кроме того, статью в apXiv все равно будем делать на английском.

Еще одно соображение.
На Papeeria при бесплатной регистрации есть ограничение на количество проектов в год (а возможно, и на количество компиляций одного проекта).
В такой ситуации лучше группироваться на аккаунте новичка, который пока не выбрал даже части лимита.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 11:13 


21/04/22
330
Неожиданно, удалось доказать, что существует максимум конечное количество четвёрок последовательных натуральных чисел, имеющих $2p^s$ делителей ($p \ge 7$ фиксированное простое число, $s \ge 2$ натуральное). Существование четвёрки сводится к уравнению Туэ степени $\frac{p-1}{2}$. Доказательство разместить в этой теме или лучше создать новую?

-- 27.05.2022, 11:29 --

mathematician123 в сообщении #1555618 писал(а):
Существование четвёрки сводится к уравнению Туэ степени $\frac{p-1}{2}$.

Более точно: к уравнению $u^{\frac{p-1}{2}} - 2(v^2)^{\frac{p-1}{2}} = \pm 1$. Только что обнаружил, что конечность решений доказана только в случае неприводимости многочлена. Поэтому моё доказательство работает только в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 13:24 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
mathematician123
ИМХО, лучше сюда.

mathematician123 в сообщении #1555618 писал(а):
конечность решений доказана только в случае неприводимости многочлена.

То есть речь о приводимости многочлена вида $x^n - 2 y^n$?
Меня гложут смутные сомнения, что они все неприводимы...

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 13:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
EUgeneUS в сообщении #1555628 писал(а):
Меня гложут смутные сомнения, что они все неприводимы...
Дык, это же медицинский факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение27.05.2022, 14:49 


21/04/22
330
EUgeneUS в сообщении #1555628 писал(а):
То есть речь о приводимости многочлена вида $x^n - 2 y^n$?

Да

Предположим, что $x^n-2y^n = G(x, y)F(x, y)$. Подставим $y = 1$ и получим $x^n-2 = G(x, 1)F(x, 1)$, но многочлен $x^n-2$ неприводим по критерию Эйзенштейна. Это значит, что $G(x, 1)$ или $F(x, 1)$ является константой, то есть $G(x, y)$ или $F(x, y)$ содержит только переменную $y$. Пусть это будет $F(x, y)$. Пусть $ax^by^c$ - слагаемое в $G(x, y)$ с наибольшим возможным $c$, $dy^l$ - старший член $F(x, y)$. Тогда в произведении $G(x, y)F(x, y)$ присутствует слагаемое $adx^by^{c+l}$. Тогда $b = 0$. Это значит, что в $G(x, y)$ есть хотя бы одно слагаемое, не содержащее $x$. Но тогда $F(x, y)$ обязан быть константой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group