Нормировка волновой функции свободной частицы

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1553262 писал(а):

Увы, как это ни странно, но не получается.

А вот что получается:

$$(2L)^{-1} \int_{-L}^L |\psi(x)|^2\,dx =1.$$

Это в данном частном случае для любого $L>0$. А в общем случае надо брать предел левой части при $L\to \infty$.

[Arks]

kzv
У свободной частицы нормировка на дельта-функцию. Сведите вашу нормировку к интегральному представлению дельта-функции

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1553266 писал(а):

kzv в сообщении #1553262 писал(а):

Увы, как это ни странно, но не получается.

А вот что получается:

$$(2L)^{-1} \int_{-L}^L |\psi(x)|^2\,dx =1.$$

Это в данном частном случае для любого $L>0$. А в общем случае надо брать предел левой части при $L\to \infty$.

И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1553363 писал(а):

И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?

Какое то $A$ получится. Ну и то, которое вы хотите при каком-то выборе значения интеграла.,

[Alex-Yu]

kzv в сообщении #1553235 писал(а):

Увы, как это ни странно, но не получается.

Ничего странного, волновые функции непрерывного спектра так не нормируются, и их квадрат модуля не есть плотность вероятности (это в любом учебнике есть). Как быть? Можно по-разному (математики так вообще тут понакрутят сложностей) , но физически наиболее естественный путь -- запихать эту частицу в конечный объем $V$ и наложить периодические граничные условия. Тогда получится $A=\sqrt{V}$. В конце-концов нет таких систем, которые были бы "размазаны" по всей Вселенной. И даже вся Вселенная имеет конечный объем. Любая разумная физическая система может быть запихана в пусть и большой, но конечный "ящик". Вообще буквальные бесконечности физического смысла не имеют. В физике бесконечный --- это очень большой Но при этом конечный физический ответ не должен зависеть от какой именно большой (в данном случае большой $V$). В реальных, разумных задачах так получается всегда.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1553384 писал(а):

В физике бесконечный --- это очень большой Но при этом конечный физический ответ не должен зависеть от какой именно большой (в данном случае большой $V$)

Про то у меня и написано: делить интеграл на объём (в одномерном случае--на длину). А без деления интеграл равен $1$ при $A=1/\sqrt{V}$.

[DimaM]

В задачах рассеяния, помнится, нормируется на заданный поток частиц:

$${\bf j}=\frac{\hbar}{2im}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*).$$

[Arks]

kzv в сообщении #1553363 писал(а):

И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?

А что тут с размерностями то у вас? Должно же быть $[A]=\text{м}^{-1}$
И как вам мой вариант через нормировку на дельта-функцию? Это идеологически самый верный вариант, т.к. по сути решаем чисто математическую задачу, к реальному миру отношения не имеющую

Alex-Yu в сообщении #1553384 писал(а):

запихать эту частицу в конечный объем $V$ и наложить периодические граничные условия. Тогда получится $A=\sqrt{V}$.

Как конкретно в этой задаче получается

[kzv]

Arks в сообщении #1553502 писал(а):

А что тут с размерностями то у вас?

Да, не обратил внимания на размерность ((
С нормировкой на дельта-функцию мне тоже непонятно: какой физический смысл тогда у квадрата волновой функции получается?
В учебнике Давыдова нормировка идет на дельта-символ, это более физично, но при этом спектр-то рассматривается не непрерывный: частица не полностью свободна, а ограничена объемом, да еще, на каком-то непонятном основании, связана цикличными граничными условиями (((

[Arks]

kzv в сообщении #1553503 писал(а):

С нормировкой на дельта-функцию мне тоже непонятно: какой физический смысл тогда у квадрата волновой функции получается?

Физический смысл тут есть у отношений квадратов в разных точках, как отношение плотностей вероятностей (которые (около)нулевые), а так смысл чисто математический, ибо ситуация физически нереализуема

kzv в сообщении #1553503 писал(а):

В учебнике Давыдова нормировка идет на дельта-символ, это более физично, но при этом спектр-то рассматривается не непрерывный:

Разумеется, при дискретном спектре используется нормировка на символ Кроннекера

[Alex-Yu]

Arks в сообщении #1553502 писал(а):

Как конкретно в этой задаче получается

Вопрос, мягко говоря (очень мягко), странный. Как? Путем вычисления интеграла от константы. А если и это "как", то о чем тогда вообще говорить...

[lel0lel]

Arks в сообщении #1553505 писал(а):

Физический смысл тут есть у отношений квадратов в разных точках, как отношение плотностей вероятностей

Формально, конечно, это верно. Но результат этот получен выбором конкретных граничных условий, а потому он также не имеет важного значение для физики. То есть сказать, что в данной точке вероятность обнаружить свободную частицу во столько то раз больше чем вон в той точке, всё равно, что пошутить.

[Arks]

Alex-Yu в сообщении #1553526 писал(а):

опрос, мягко говоря (очень мягко), странный. Как? Путем вычисления интеграла от константы. А если и это "как", то о чем тогда вообще говорить...

Как от объема $V$ избавится

[Alex-Yu]

Arks в сообщении #1553531 писал(а):

Как от объема $V$ избавится

А не надо от него избавляться. Это и физически понятно: чем больше объем, в котором находится ОДНА частица, тем меньше плотность вероятности обнаружить ее в каком-нибудь месте. А при расчетах чего-нибудь физически вразумительного объем сокращается. Всегда. Я же это уже писал, читайте внимательней!

[amon]

kzv в сообщении #1553235 писал(а):

Увы, как это ни странно, но не получается.

В этом ничего сильно странного нет. Вы считаете $\langle p|p'\rangle.$ Это выражение можно переписать так: $\langle p|I|p'\rangle,$ где $I$ - единичный оператор. То есть, вы считаете ядро единичного оператора в $p$-представлении. Единичный оператор это такой оператор, который из функции делает ее саму. Если $p$ - дискретная величина, то $\langle p|p'\rangle=\delta_{pp'}$ и $\delta_{pp}=1.$ Если $p$ непрерывна, то для любой функции $\varphi(p)=\langle p|\varphi\rangle$ должно выполняться $\int I(p,p')\varphi(p') =\varphi(p).$ Значит $I(p,p')=\delta(p-p')$ и $\langle p|p\rangle=\infty.$ Если бесконечность не нравится, то можно провернуть трюк с делением на объем системы (нормировка на одну частицу в единице объема), но, как правило, можно обойтись и без этого, если помнить, что $\delta(0)=$объему системы.