2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение22.04.2022, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
kzv в сообщении #1553262 писал(а):
Увы, как это ни странно, но не получается.
А вот что получается:
$$(2L)^{-1} \int_{-L}^L |\psi(x)|^2\,dx =1.$$Это в данном частном случае для любого $L>0$. А в общем случае надо брать предел левой части при $L\to \infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение23.04.2022, 07:52 


26/02/22

84
kzv
У свободной частицы нормировка на дельта-функцию. Сведите вашу нормировку к интегральному представлению дельта-функции :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение24.04.2022, 23:00 


15/09/20
198
Red_Herring в сообщении #1553266 писал(а):
kzv в сообщении #1553262 писал(а):
Увы, как это ни странно, но не получается.
А вот что получается:
$$(2L)^{-1} \int_{-L}^L |\psi(x)|^2\,dx =1.$$Это в данном частном случае для любого $L>0$. А в общем случае надо брать предел левой части при $L\to \infty$.

И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение24.04.2022, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
kzv в сообщении #1553363 писал(а):
И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?
Какое то $A$ получится. Ну и то, которое вы хотите при каком-то выборе значения интеграла.,

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение25.04.2022, 10:47 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
kzv в сообщении #1553235 писал(а):
Увы, как это ни странно, но не получается.


Ничего странного, волновые функции непрерывного спектра так не нормируются, и их квадрат модуля не есть плотность вероятности (это в любом учебнике есть). Как быть? Можно по-разному (математики так вообще тут понакрутят сложностей) , но физически наиболее естественный путь -- запихать эту частицу в конечный объем $V$ и наложить периодические граничные условия. Тогда получится $A=\sqrt{V}$. В конце-концов нет таких систем, которые были бы "размазаны" по всей Вселенной. И даже вся Вселенная имеет конечный объем. Любая разумная физическая система может быть запихана в пусть и большой, но конечный "ящик". Вообще буквальные бесконечности физического смысла не имеют. В физике бесконечный --- это очень большой :D Но при этом конечный физический ответ не должен зависеть от какой именно большой (в данном случае большой $V$). В реальных, разумных задачах так получается всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение25.04.2022, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Alex-Yu в сообщении #1553384 писал(а):
В физике бесконечный --- это очень большой :D Но при этом конечный физический ответ не должен зависеть от какой именно большой (в данном случае большой $V$)
Про то у меня и написано: делить интеграл на объём (в одномерном случае--на длину). А без деления интеграл равен $1$ при $A=1/\sqrt{V}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение25.04.2022, 14:13 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
В задачах рассеяния, помнится, нормируется на заданный поток частиц:
$${\bf j}=\frac{\hbar}{2im}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 06:41 


26/02/22

84
kzv в сообщении #1553363 писал(а):
И как из этого может получиться A=$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ ?

А что тут с размерностями то у вас? Должно же быть $[A]=\text{м}^{-1}$
И как вам мой вариант через нормировку на дельта-функцию? Это идеологически самый верный вариант, т.к. по сути решаем чисто математическую задачу, к реальному миру отношения не имеющую :-)
Alex-Yu в сообщении #1553384 писал(а):
запихать эту частицу в конечный объем $V$ и наложить периодические граничные условия. Тогда получится $A=\sqrt{V}$.

Как конкретно в этой задаче получается :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 07:55 


15/09/20
198
Arks в сообщении #1553502 писал(а):
А что тут с размерностями то у вас?

Да, не обратил внимания на размерность ((
С нормировкой на дельта-функцию мне тоже непонятно: какой физический смысл тогда у квадрата волновой функции получается?
В учебнике Давыдова нормировка идет на дельта-символ, это более физично, но при этом спектр-то рассматривается не непрерывный: частица не полностью свободна, а ограничена объемом, да еще, на каком-то непонятном основании, связана цикличными граничными условиями (((

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 08:55 


26/02/22

84
kzv в сообщении #1553503 писал(а):
С нормировкой на дельта-функцию мне тоже непонятно: какой физический смысл тогда у квадрата волновой функции получается?

Физический смысл тут есть у отношений квадратов в разных точках, как отношение плотностей вероятностей (которые (около)нулевые), а так смысл чисто математический, ибо ситуация физически нереализуема :-)
kzv в сообщении #1553503 писал(а):
В учебнике Давыдова нормировка идет на дельта-символ, это более физично, но при этом спектр-то рассматривается не непрерывный:

Разумеется, при дискретном спектре используется нормировка на символ Кроннекера

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 14:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Arks в сообщении #1553502 писал(а):
Как конкретно в этой задаче получается


Вопрос, мягко говоря (очень мягко), странный. Как? Путем вычисления интеграла от константы. А если и это "как", то о чем тогда вообще говорить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 14:53 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Arks в сообщении #1553505 писал(а):
Физический смысл тут есть у отношений квадратов в разных точках, как отношение плотностей вероятностей
Формально, конечно, это верно. Но результат этот получен выбором конкретных граничных условий, а потому он также не имеет важного значение для физики. То есть сказать, что в данной точке вероятность обнаружить свободную частицу во столько то раз больше чем вон в той точке, всё равно, что пошутить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 16:42 


26/02/22

84
Alex-Yu в сообщении #1553526 писал(а):
опрос, мягко говоря (очень мягко), странный. Как? Путем вычисления интеграла от константы. А если и это "как", то о чем тогда вообще говорить...

Как от объема $V$ избавится :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 17:16 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Arks в сообщении #1553531 писал(а):
Как от объема $V$ избавится


А не надо от него избавляться. Это и физически понятно: чем больше объем, в котором находится ОДНА частица, тем меньше плотность вероятности обнаружить ее в каком-нибудь месте. А при расчетах чего-нибудь физически вразумительного объем сокращается. Всегда. Я же это уже писал, читайте внимательней!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормировка волновой функции свободной частицы
Сообщение27.04.2022, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
kzv в сообщении #1553235 писал(а):
Увы, как это ни странно, но не получается.
В этом ничего сильно странного нет. Вы считаете $\langle p|p'\rangle.$ Это выражение можно переписать так: $\langle p|I|p'\rangle,$ где $I$ - единичный оператор. То есть, вы считаете ядро единичного оператора в $p$-представлении. Единичный оператор это такой оператор, который из функции делает ее саму. Если $p$ - дискретная величина, то $\langle p|p'\rangle=\delta_{pp'}$ и $\delta_{pp}=1.$ Если $p$ непрерывна, то для любой функции $\varphi(p)=\langle p|\varphi\rangle$ должно выполняться $\int I(p,p')\varphi(p') =\varphi(p).$ Значит $I(p,p')=\delta(p-p')$ и $\langle p|p\rangle=\infty.$ Если бесконечность не нравится, то можно провернуть трюк с делением на объем системы (нормировка на одну частицу в единице объема), но, как правило, можно обойтись и без этого, если помнить, что $\delta(0)=$объему системы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group