метрика Галилея

[ИгорЪ]

1.Полная производная, с точностью до которой определяется лагранжиан, после интегрирования с закрепленными концами (действие всетаки интеграл от лагранжиана) дает константу. Значит если вы называете неизмеримым действие то энергия тоже неизмерима поскольку она определена до константы. Кометарии к тому что лагранжиан свободной частицы есть энергия те же. Это уже скучно.
2. Мы обсуждаем вашу метрику в нестандартном анализе. Уже нет скорости света. Нет конуса. Есть особое пространственное направление вдоль которого длина стала бесконечно малым гипердействительным числом. Если эта длина инвариантна, как это и должно быть, относительно преобразований Галилея,( я не проверял, это ваши гипотезы, если это не так то...у вас все плохо) ее можно измерить инструментами сантехника. Но надо дать ему линейку способную мерять гиперчисла. Есть предложения как это сделать?
3.Есть вектора и "ненравящаяся вам метрика". Временные и пространственные расстояния имеют геометрический смысл, поскольку они сохраняются при преобразовании галилея, в метрике долгарева-яглома стр.52. Надо вывести галилееву кинематику.
4. Каков путь дальнейшей дискуссии 3 или 4? Есть гипотеза.
5. Мне кажется, что метрика долгарева-яглома плюс применение аппарата из книги Полякова (Калибр. поля и струны) а именно перехода от лагранжианов с корнями к квадратичным( это есть и у Каку) может дать желаемый результат. Непонятно только нужно ли при этом выходить на квантовый уровень.

Добавлено спустя 2 минуты 18 секунд:

Настена, можно проще, длина это - любовЪ...

[~Настёна~]

Игорь но В Планковской длине невозможно что то измерить так как пространство начинает в нём сворачиваться. Но это не значит что пространство не имеет состава

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Игорь мне ещё рано кого то любить мне 16 лет ...

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

Полная производная, с точностью до которой определяется лагранжиан, после интегрирования с закрепленными концами (действие всетаки интеграл от лагранжиана) дает константу.

Константу, зависящую от чего?

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

2. Мы обсуждаем вашу метрику в нестандартном анализе. Уже нет скорости света. Нет конуса.

Упс. А куда делись? Простите, вы метрику внимательно читали? То, что в выражении стоит бесконечно малый коэффициент, не означает, что соответствующие вычисления исчезают. Они просто тоже начинают включать в себя нестандартные числа. Скорость света бесконечно большая. Тангенс угла раствора конуса бесконечно большой. Но это - нормальные гипердействительные числа, они существуют.

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

ее можно измерить инструментами сантехника. Но надо дать ему линейку способную мерять гиперчисла.

Да... У вас всё плохо... Я же предупреждал, что это - глубоко. Может, вам не стоит об этом рассуждать? Но если желаете, извольте. Как вы даёте сантехнику линейку, способную мерять метры?

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

3.Есть вектора и "ненравящаяся вам метрика".

Кавычки расставлены неправильно. Это не метрика.

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

Временные и пространственные расстояния имеют геометрический смысл, поскольку они сохраняются при преобразовании галилея, в метрике долгарева-яглома стр.52.

Прекратите смешивать Долгарёва и Яглома, или я буду настаивать на перенесении обсуждения в отстойник "Дискуссионные темы (Ф)". А там я из обсуждения выйду :-)

Временные и пространственные расстояния имеют геометрический смысл, и сохраняются при преобразовании Галилея, но при этом остаются временными и пространственными расстояниями, то есть не смешиваются. Это явно оговаривает Яглом, и это нагло нарушает Долгарёв. Именно это свойство несмешивания используется и при нестандартном представлении: поскольку коэффициенты преобразования Галилея конечные числа, то они не переводят конечные и бесконечно малые друг в друга.

ИгорЪ в сообщении #155194 писал(а):

5. Мне кажется, что метрика долгарева-яглома плюс применение аппарата из книги Полякова (Калибр. поля и струны) а именно перехода от лагранжианов с корнями к квадратичным( это есть и у Каку) может дать желаемый результат. Непонятно только нужно ли при этом выходить на квантовый уровень.

Мне кажется, что вам рановато не то что Полякова и Каку читать, но и вообще слово "кванты" произносить. Вы не способны различить даже два противоречащих друг другу текста длиной в абзац.

[ИгорЪ]

1.Константа на то и константа чтобы ни от чего не зависить.
2.Если я правильно понял вы предложили заменить обратную скорость света бесконечно малым гипердействительным числом? Конус при этом схлопнулся в одну особую гипердействительную прямую, с чего вы взяли, что я против этого. Здесь все хорошо.
3.Как и чем мерять гипердействительные расстояния вы так и не предложили. Сантехнику я даю линейку с отложенными на ней действительными числами. Как отложить гипердействительные числа никто не знает, это аксиоматически введенные величины. Фермионные суперкоординаты тоже не меряются, но они всегда встречаются в билинейном бозонном виде, а такие штуки меряются, посмотрите на метрику любой суперсимметричной теории.
4. Разве преобразования галилея не получаются у вас из замены в преобразованиях Лоренца обратной скорости света на бесконечно малое гипердействительное число? Вы вроде сами такое говорили. Не могли бы вы указать пальцем где у Долгарева смешиваются пространственные и временные расстояния. Кстати у Черникова та же метрика, что и у долгарева.

Жаль если вы перестанете дискутировать, идея нестандартного анализа мне очень понравилась. Но довести ее до ума я не смог. А вы пока все скрываете.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #155314 писал(а):

Но довести ее до ума я не смог. А вы пока все скрываете.

Я НИЧЕГО не скрываю. Прочитайте элементарную брошюрку Успенского, и всё доведёте до ума, в том числе до собственного.

[ИгорЪ]

1.Успенский здесь.Формулы написаны. Все они повторяют формулы Яглома с применением дуальных чисел, если вместо дуальной единицы взять бесконечно малую (смотри со стр.280 яглома). Расстояние при этом дается "двойной формулой" стр.51. У него на пространство навешивается дуальная единица, у успенского-меня, с вашей подачи, гиперчисло. Все хорошо. Это ответ на вопрос: как описать галилееву геометрию в терминах нестандартного анализа. Идею взял у вас. Спасибо. Правда метрика -51, а не (1,e). Вокруг этого в основном пустые споры. Закончим их. Более того, можно взять формулы СТО, в 4-векторах и преобразованиях Лоренца заменить обратную скорость света либо на дуальную единицу либо на б.м. гиперчисло и получить тоже самое. Расстояние при этом опять же -51. У Яглома есть вообще единое описание геометрий минковского-евклида-галилея.
2.Заявленная в теме задача может быть уточнена так. Как из расстояния на галилеевой плоскости задаваемого формулой 51 написать лагранжиан. При это и комплексно- и дуально- и гипер- значные лагранжианы не годятся, поскольку сразу встает вопрос об их интерпретации и еще хотя бы потому, что мне неизвестно ни одного примера использования таковых.

[respekt]

~Настёна~ писал(а):

... мне 16 лет ...

Вы такая молодая, а уже имеете представление и о планковской длине , и о свертывании пространств. Да Вы вундеркинд.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #155409 писал(а):

1.Успенский здесь.Формулы написаны. Все они повторяют формулы Яглома с применением дуальных чисел, если вместо дуальной единицы взять бесконечно малую (смотри со стр.280 яглома).

Хорошо. Наконец-то Долгарёв заслуженно забыт.

ИгорЪ в сообщении #155409 писал(а):

Правда метрика -51, а не (1,e).

ИгорЪ в сообщении #155409 писал(а):

2.Заявленная в теме задача может быть уточнена так. Как из расстояния на галилеевой плоскости задаваемого формулой 51 написать лагранжиан.

Никак. Из метрики $(1,\varepsilon)$ можно, из того, что вы предпочли - никак.

Всё очень просто. Возьмите свободную частицу, которая за $dt_1$ проходит $dx_1$, а за последующий $dt_2$ - $dx_2$. Малые величины взяты, чтобы можно было представить себе равномерное движение на этих отрезках. По "формуле 51" всё, что характеризует движение по первому отрезку - это $dt_1$, а всё, что характеризует движение по второму - это $dt_2$. Абзац. Привязать $dx_2$ к $dx_1$ никак нельзя. К моменту прохождения $dx_2$ вся информация о величине $dx_1$ потеряна. По формуле метрики $(1,\varepsilon)$ эта информация сохранена - прячется в бесконечно малой части. И её оттуда можно достать, когда при варьировании действия конечная часть сокращается. Примерно так:

$$S=dt_1+dt_2-\frac{\varepsilon}{2}\biggl(\frac{dx_1^2}{dt_1}+\frac{dx_2^2}{dt_2}\biggr)$$

$$\delta S=-\frac{\varepsilon}{2}\biggl(\frac{1}{dt_1}2dx_1\delta dx_1+\frac{1}{dt_2}2dx_2\delta dx_2\biggr)=$$

$$=-\varepsilon(v_1\delta dx_1+v_2\delta dx_2)=-\varepsilon(v_1\delta dx_1-v_2\delta dx_1)=-\varepsilon(v_1-v_2)\delta dx_1$$

то есть возникает уравнение движения $v_1=v_2.$

ИгорЪ в сообщении #155409 писал(а):

поскольку сразу встает вопрос об их интерпретации и еще хотя бы потому, что мне неизвестно ни одного примера использования таковых.

Ну мало ли... Об интерпретации на самом деле вопрос не встаёт, я уже показал, как с ним разбираться, но вот разжевать это вам не решусь, слишком трудоёмко.

[ИгорЪ]

Конкретная проблема такая. Горизонтальная ось время, верт. - пространство.
Если в лоб писать действие $S=\int dt$ как длину любой траектории в геометрии галилея не содержащей особых вертикальных участков, которые соответствуют бесконечной скорости, то все закрепленные траектории имеют одну и ту же длину! Что означает этот факт? Как частица выбирает прямую?

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Извиняюсь когда я набирал свой текст, вашего еще небыло.
Сейчас изучу.

[ИгорЪ]

Этот вывод понятен, подобное вы уже писали. возможно он имеет значение для философов, описывающих принцип соответствия, и желающих сказать фразу о том, что новая и старая теории связываются не просто предельным переходом некоего параметра $ c, h$ , но и НОВОЙ математической машинерией, в данном случае нестандартным анализом. Классно звучит! В кинематике Галилея время и пространство настолько разные, что описываются неодинаковыми сущностями, а в СТО они почти одной природы и мостик между ними - скорость света! Можно тиснуть в hep-ph статейку...
Вообще эта задача мотивирована другой. Пусть скалярное поле имеет два внутренних индекса и преобразовываются эти компоненты (минковским) галилеевым способом. Как записать лагранжиан, как затем локализовать эту симметрию? Если признавать пространство и время РАЗНЫМИ мы готовы, то что означает ОТЛИЧИЕ полевых компонент? Там даже аналога скорости света нет, ввести что ли какой параметр? Потому я и ищу прямой способ построения лагранжиана из метрики.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #155690 писал(а):

Вообще эта задача мотивирована другой. Пусть скалярное поле имеет два внутренних индекса и преобразовываются эти компоненты (минковским) галилеевым способом.

Покажите, пока не понятно.

[ИгорЪ]

Лагранжиан свободного комплексного поля, инвариантен относительно глобальных фазовых преобразований (есть сохраняющийся U(1) заряд). Если расписать по вещественной и мнимой компоненте (два внутренних индекса) он будет инвариантен относительно поворотов во внутреннем пространстве(см. например Райдер). Это эквивалентные записи глобальной U(1) симметрии. Локализация дает электромагнитное поле описывающее взаимодействие зарядов. Если отбросить сдвиги, то галилеевы преобразования тоже однопараметричны и можно попытаться построить теорию поля с двумя компонентами (внутренними) преобразующимися по Галилею. Вот этот то глобально галилеев лагранжиан я и ищу. Локализация даст те же формулы на калибровочное поле, но взаимодействие каких полей оно описывает непонятно. Что за галилеев заряд тоже непонятно.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #155716 писал(а):

Если отбросить сдвиги, то галилеевы преобразования тоже однопараметричны

Это как это? В группе Галилея столько же параметров, сколько у Лоренца. В (3,1) шесть, а в (n,1) n(n+1)/2.

ИгорЪ в сообщении #155716 писал(а):

и можно попытаться построить теорию поля с двумя компонентами (внутренними) преобразующимися по Галилею.

Вы имеете в виду, взамен группы поворотов?

ИгорЪ в сообщении #155716 писал(а):

Вот этот то глобально галилеев лагранжиан я и ищу.

Тогда вам лагранжиан галилеевой механики не нужен. Вам нужно для новой группы преобразований найти инварианты, и собирать лагранжиан из них. Здесь как раз к месту рецепт из Каку, который вы приводили. А инварианты практически в готовом виде написаны у Яглома :-)

И потом, наверное, надо проверить лагранжиан на физическую осмысленность, например, бегут ли по нему волны, и не развивается ли неустойчивость.

ИгорЪ в сообщении #155716 писал(а):

Что за галилеев заряд тоже непонятно.

Это надо глубже в теорию групп Ли залезать. По сути группа Галилея равна группе сдвигов плюс вращений пространства (размерности n, 3, 1), этот случай со всеми зарядами обязательно расписан в учебниках.

[Munin]

Я тут вспомнил одну причину, по которой теоретики предпочитают группы наподобие U(1), а не такие, как группа Галилея или Лоренца. Вам это может помочь.

Дело в том, что группа U(1) компактная. Это свойство связано с перенормируемостью при построении квантовой теории. Если отказываться от компактности, то исчезает перенормируемость (по крайней мере я не слышал, чтобы её можно было восстановить другими спосообами). А группы Галилея и Лоренца как раз некомпактные.

[ИгорЪ]

Я рассматриваю Галилея в (1,1) без сдвигов, правильно вместо поворотов, тогда она абелева и локально не отличается от U(1). Да она некомпактная. А у неабелевых Пуанкаре и галилея еще и форма Киллинга вырождена, трудно писать лагранжиан калибровочного поля, вот и решил начать с классической частицы. Инварианты у яглома кроме расстояние не нашел. Вариант Каку пока не понял. Есть другая возможность: начинать с хорошей группы типа SU(2)? но ввводить туда параметр типа скорости света и устремлять потом в бесконечность, но тоже все упирается в интерпретацию...