Оптимальная стратегия обегания правильного многоугольника выглядит следующим образом.
Собственно, надо рассмотреть бег вдоль одной стороны.
Мы уже выяснили, что в любой точке траектории ускорение будет максимально возможным равным
![$\mu g$ $\mu g$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/9/699cb7199ef7cb99056428f096cac27482.png)
Надо только определить оптимальное направление.
Наша задача - минимизировать время пробегания вдоль оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, которая совпадает со стороной многоугольника, при условии известного изменения скорости вдоль оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
Направление скорости в углу нам известно. Пока неизвестна величина.
Зададим ее произвольно. А стратегию просто угадаем.
Логично предположить, что в направлении оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
Ускорение постоянно, а на середине отрезка просто меняет направление на противоположное.
А по оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
Тоже постоянно. И направлено к центру многоугольника. И таковым является на протяжении всего пробега вдоль отрезка.
Получаем два симметричных куска параболы, сшитые посередине.
Выпишем эти уравнения в следующих обозначениях:
![$2b$ $2b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/6/b96b0a2173b13df8cb9007a9a984a9f982.png)
- длина стороны многоугольника.
![$a=\mu g$ $a=\mu g$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/4/a04f6534f5e6433ea2a7224fe265953c82.png)
- модуль ускорения.
![$a_x$ $a_x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/8/8f8ec84d5f9e5b205d6e18599148b9a782.png)
,
![$a_y$ $a_y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/8/d68be24a75756ad0002a5b5eaeb8881b82.png)
- ускорения вдоль осей
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
- скорость в углу
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
- угол вектора скорости относительно оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
1. Изменение скорости вдоль оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
Задается уравнением:
![$v\sin(\alpha)= a_yt$ $v\sin(\alpha)= a_yt$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/1/f71f1c481ae62aba98a18bf30ad4757f82.png)
2. Формула равноускоренного движения вдоль оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
:
![$b = v\cos(\alpha)t + 0.5 a_xt^2$ $b = v\cos(\alpha)t + 0.5 a_xt^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/0/810d1392e7d636a213ab706753feae2882.png)
3. Ускорения:
![$a^2=a_x^2+a_y^2$ $a^2=a_x^2+a_y^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/19011452be90ccd122f3b0021a028ef282.png)
Порядок подстановкой:
Из формулы 1. Подставляем время
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
в формулу 2, а из формулы 3. подставляем ускорение
![$a_x$ $a_x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/8/8f8ec84d5f9e5b205d6e18599148b9a782.png)
туда же.
Получается однозначная функциональная связь скорости между скоростью в углу и ускорением по вертикали.
Теперь нам надо минимизировать время пробегания.
Это легче всего сделать выразив функционально время через ускорение по вертикали.
Для этого подставим найденную скорость в формулу 1.
И ищем минимум функции
![$t(a_y)$ $t(a_y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/5/b95182d8610a27d97bfdf59a6016fef482.png)
Остаётся доказать, что данная стратегия оптимальна.
Действительно, чтобы уменьшить время пробегания, нам надо на каком-то участке чуток увеличить ускорение по оси
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
. Но тогда на этом участке уменьшится ускорение по оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Но тогда время по оси
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
увеличится. Ввиду оптимальности стратегии пробегания вдоль этой оси при постоянном ускорении. Противоречие.