2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Мальчик на льду
Сообщение01.04.2022, 21:32 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Мальчик периодически бегает вокруг равнобедренного треугольного с длиной стороны $a$ на ледяном поле. Какова минимальная продолжительность одного круга вокруг дома при оптимальной траектории? Ускорение свободного падения $g$, коэффициент трения $\mu$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение01.04.2022, 21:52 


20/04/10
1784
profilescit в сообщении #1551620 писал(а):
равнобедренного
равностороннего?

-- Пт апр 01, 2022 22:14:01 --

Интуиция подсказывает, что траектория представляет собой треугольник со сглаженными вершинами. То есть три прямолинейных участка разгон-торможение и три дуги окружности минимального радиуса, центры которых на биссектрисах, и проходят через вершины. Дальше школьная геометрия, но начать нужно с минимально возможного радиуса кривизны. А вот как доказать оптимальность, это хороший вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 00:41 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Ошибочное ответ, как я потом понял:

(Оффтоп)

$T = 3\sqrt{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{a}{g\mu}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 08:23 


20/04/10
1784
slavav
Удивительно быстро и без числа пи. Что за траектория если не секрет. У меня время получилось раза в полтора больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 09:39 


18/09/21
1699
slavav в сообщении #1551628 писал(а):
$\sqrt{\sqrt{3}}$
$\sqrt[4] 3$
Код:
\sqrt[4] 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 10:11 


20/04/10
1784
Рассмотрим случай когда мальчик бегает по периметру, останавливаясь в вершинах, меняя направление движения. На каждой стороне происходит разгон с ускорением $\mu g$ и торможение с таким же ускорением. Средняя скорость на стороне равна $\sqrt{a\mu g}/2$. Период равен $6\times\sqrt{\frac{a}{\mu g}}$. Если рассматривать сглаженные углы, то время не будет меньше, но физически при некоторых $a$ гладкая (с точностью до первой производной) траектория может быть выгоднее, так как при угловатой нужно учитывать время на развороты в точках остановки. Вообще, эта задача не такая уж простая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 10:12 


14/01/11
2938
lel0lel в сообщении #1551621 писал(а):
три дуги окружности минимального радиуса

Мне кажется, радиус не обязан быть минимальным, с его увеличением мы можем быстрее двигаться вдоль сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 10:38 


20/04/10
1784
Sender да, я не совсем верно выразился. Пусть $v$ скорость на окружностях, по ней будем минимизировать. Радиус: $R=\frac{v^2}{\mu g}$. Время на дуге равной трети окружности $\frac{2\pi v}{3\mu g}$. Длина
прямолинейного участка $a-2R\cos 30=a-\frac{v^2\sqrt{3}}{\mu g}$. Средняя скорость на прямолинейных участках $\Big(v+\sqrt{a\mu g+(1-\sqrt{3})v^2}\Big)/2$. Тогда
$$T(v)=6\frac{a\mu g-\sqrt{3}v^2}{\mu g(v+\sqrt{a\mu g+(1-\sqrt{3})v^2}}+\frac{2\pi v}{\mu g}$$ Тогда минимальное время при условии, что длина прямолинейного участка неотрицательная: $T=\frac{2\pi}{3^{1/4}}\sqrt{\frac{a}{\mu g}}$, что соответствует описанной окружности. Но возможно это неоптимальное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 11:04 


08/11/12
140
Донецк
А не по описанной ли окружности будет быстрее всего?
$$T=\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}\mu g}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 11:23 


20/04/10
1784
artur_k
Для описанной окружности получается как раз
lel0lel в сообщении #1551648 писал(а):
Тогда $T=\frac{2\pi}{3^{1/4}}\sqrt{\frac{a}{\mu g}}.$


-- Сб апр 02, 2022 11:39:21 --

lel0lel в сообщении #1551644 писал(а):
Если рассматривать сглаженные углы, то время не будет меньше
Это я неправильно написал, сначала допустил ошибку при нахождении минимума. Конечно, сглаживание ускоряет процесс. И пока вроде получили результат (приведён выше), что минимальное время при беге по описанной окружности (совсем без прямолинейных участков и торможения). Можно было бы рассмотреть эллипсы, но в силу симметрии, смысла в этом особого нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 18:16 
Аватара пользователя


07/01/16
1435
Аязьма
Возможно, форма оптимальной траектории другая: по сторонам треугольника, а из вершины (в нее же) по "петельке", не являющейся окружностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 20:37 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Правильного ответа здесь все еще нет. Время выражается полностью аналитически, напишу пока численно что $T \approx 4.753 \sqrt{\frac{a}{\mu g}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 20:43 


14/01/11
2938
lel0lel в сообщении #1551639 писал(а):
Удивительно быстро и без числа пи.

У меня получилось похожее выражение, если рассмотреть траекторию из трёх кусков парабол, гладко сопрягающихся в вершинах. Но там вроде получается $3\sqrt{2\sqrt{3}}$, на рекорд не тянет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение02.04.2022, 21:22 


20/04/10
1784
Есть мысль плавно соеденить дугу окружности (проходящую через вершину или все три вершины) и гиперболу или параболу, но пока это просто мысль. То есть речь о дуге описанной окружности градусной мерой 240° и соприкасающейся с ней в двух вершинах гиперболе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение03.04.2022, 01:47 
Аватара пользователя


07/01/16
1435
Аязьма
Какая-то гипотрохоида может быть? Она может быть похожей и на треугольник со скругленными углами, например$$\begin{cases}
x=2\cos\vartheta+\frac12\cos2\vartheta\\
y=2\sin\vartheta-\frac12\sin2\vartheta\end{cases}$$
$0\leqslant\vartheta<6\pi$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group