Оптимальная стратегия обегания правильного многоугольника выглядит следующим образом.
Собственно, надо рассмотреть бег вдоль одной стороны.
Мы уже выяснили, что в любой точке траектории ускорение будет максимально возможным равным

Надо только определить оптимальное направление.
Наша задача - минимизировать время пробегания вдоль оси

, которая совпадает со стороной многоугольника, при условии известного изменения скорости вдоль оси

Направление скорости в углу нам известно. Пока неизвестна величина.
Зададим ее произвольно. А стратегию просто угадаем.
Логично предположить, что в направлении оси

Ускорение постоянно, а на середине отрезка просто меняет направление на противоположное.
А по оси

Тоже постоянно. И направлено к центру многоугольника. И таковым является на протяжении всего пробега вдоль отрезка.
Получаем два симметричных куска параболы, сшитые посередине.
Выпишем эти уравнения в следующих обозначениях:

- длина стороны многоугольника.

- модуль ускорения.

,

- ускорения вдоль осей

- скорость в углу

- угол вектора скорости относительно оси

1. Изменение скорости вдоль оси

Задается уравнением:

2. Формула равноускоренного движения вдоль оси

:

3. Ускорения:

Порядок подстановкой:
Из формулы 1. Подставляем время

в формулу 2, а из формулы 3. подставляем ускорение

туда же.
Получается однозначная функциональная связь скорости между скоростью в углу и ускорением по вертикали.
Теперь нам надо минимизировать время пробегания.
Это легче всего сделать выразив функционально время через ускорение по вертикали.
Для этого подставим найденную скорость в формулу 1.
И ищем минимум функции

Остаётся доказать, что данная стратегия оптимальна.
Действительно, чтобы уменьшить время пробегания, нам надо на каком-то участке чуток увеличить ускорение по оси

. Но тогда на этом участке уменьшится ускорение по оси

. Но тогда время по оси

увеличится. Ввиду оптимальности стратегии пробегания вдоль этой оси при постоянном ускорении. Противоречие.