2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение08.04.2022, 03:45 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
waxtep
У меня система координат такая, что сторона лежит на оси $x$, а ось $y$ ей перпендикулярна.
Соответственно по оси $y$ Ускорение постоянно, а по оси $x$ тоже постоянно, но в середине меняет знак.
Соответственно траектория представляет собой две симметричные параболы, склеенные посерёдке.
Возможно в вычислениях я где-то и напутал. Но за логику ручаюсь. :)
Да и предел для отрезка (двухугольника) даёт правильный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение08.04.2022, 23:28 
Аватара пользователя


07/01/16
1430
Аязьма
fred1996 в сообщении #1552130 писал(а):
Возведём 1. в квадрат и подставим туда выражение для $v^2$ из 3.

Получаем

$t^2 = \frac{2\sin^4(\alpha)}{a_y\sin(2\alpha)+\sqrt{a^2-a_y^2}}$
Вот тут синусы чересчур распрыгались, на самом деле должно быть $$t^2 = \frac{2b}{2a_y\ctg\alpha+\sqrt{a^2-a_y^2}}$$и тогда у нас с Вами ответ для треугольника совпадет, в Ваших обозначениях период $T=6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\sqrt{\dfrac{2b}a}$
Но это ведь точно не оптимально: даже если не доверять вариационному колдунству, движение по описанной окружности быстрее: $\dfrac{2\pi}{3^{1/4}}\approx4.7742<6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\approx4.8546$

Если отвлечься от арифметики, решение из двух сопряженных дуг параболы вот чем смущает по физ. смыслу: тангенциальное ускорение терпит разрыв над серединой стороны, "бьемся об стык рельсов", и это хороший кандидат на оптимизацию. Для описанной окружности и решения вар. задачи такого нет, там ускорение строго нормально напротив середины стороны

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение09.04.2022, 06:29 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
waxtep
А вас не смущает, что при обегании отрезка тангенциальное ускорение тоже терпит разрыв.
Это стандартная ситуация для минимизации по времени, когда мы сначала максимально ускоряемся, а потом максимально замедляемся. Здесь нет никакого криминала. Ведь в условии задачи не сказано, что ускорение не может терпеть разрыв.
Ну и если вы внимательнее присмотритесь, то синусы у меня не распрыгались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение09.04.2022, 10:28 


14/01/11
2934
fred1996 в сообщении #1552107 писал(а):
Действительно, чтобы уменьшить время пробегания, нам надо на каком-то участке чуток увеличить ускорение по оси $y$. Но тогда на этом участке уменьшится ускорение по оси $x$. Но тогда время по оси $x$ увеличится.

Если у нас есть некоторая траектория, проходящая через вершины, и мы на некотором малом участке увеличим $a_y$ за счёт $a_x$, то мы с неизбежностью промахнёмся мимо следующей вершины. Для компенсации этого неприятного эффекта можно, например, на каком-то другом участке увеличить $a_x$ за счёт $a_y$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение09.04.2022, 14:37 
Аватара пользователя


07/01/16
1430
Аязьма
fred1996 в сообщении #1552219 писал(а):
А вас не смущает, что при обегании отрезка тангенциальное ускорение тоже терпит разрыв.
В одномерии некуда с пользой отдать мощность, а в двумерной задаче такая дополнительная возможность оптимизации появляется
fred1996 в сообщении #1552219 писал(а):
Ну и если вы внимательнее присмотритесь, то синусы у меня не распрыгались.
Здесь вопрос не идейный, а чисто арифметический: $v\sin\alpha=a_yt,b=v\cos\alpha t+\frac12a_xt^2\Rightarrow v=\dfrac{a_yt}{\sin\alpha},b=\left(a_y\ctg\alpha+\frac12a_x\right)t^2$

Оптимальные значения проекций ускорения получаются другими: $a_x=\dfrac{a}{\sqrt{1+4\ctg^2\alpha}},a_y=\dfrac{2a\ctg\alpha}{\sqrt{1+4\ctg^2\alpha}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мальчик на льду
Сообщение09.04.2022, 16:21 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Sender
waxtep
Господа, вынужден согласиться с вашими неубиенными доводами.
Действительно, в вариационных задачах недостаточно только локально шевелить функцию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group