Свойство эллипса ("На эллипсе точки A,B, угол AOB прямой..")

[Алексей К.]

В параметрическом уравнении эллипса, $x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t$, параметр $t$ не есть полярный угол. Это тот бывший полярный угол, который был у окружности, до того как её сплюснули в эллипс.
В этом легко убедиться: $\tg\varphi=\frac y x =\frac b a \tg t \not= \tg t$, $\varphi \not= t$.

[ShMaxG]

Так я и не говорил, что

\[ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

- уравнение эллипса. Я имел ввиду переход в полярные координаты.

[Алексей К.]

Тогда надо написать не $r$, а $r(\varphi)$?

Не, мне надо внимательнее перечитать, в чём непонятки. time out

[ShMaxG]

Для эллипса - конечно.
Сначала я перешел в полярные координаты. И там посмотрел на наш эллипс.Его уравнение там имеет вид:

\[ \frac{{r^2 \cos ^2 \varphi }} {{a^2 }} + \frac{{r^2 \sin ^2 \varphi }} {{b^2 }} = 1 \]

, где

\[ r = r\left( \varphi \right) \]

[Алексей К.]

ShMaxG, у Вас, по-моему, самое гениальное решение. Нет бы нам сразу выложить в явном виде $r(\varphi)$, никто бы не высказывал сомнений и все бы всё поняли.

[Brukvalub]

И что же дальше?

[ShMaxG]

А потом идет мой предыдущий пост:

ShMaxG писал(а):

В полярных координатах:

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{r_1 ^2 }} = \frac{{\cos ^2 \varphi }} {{a^2 }} + \frac{{\sin ^2 \varphi }} {{b^2 }} \hfill \\ \frac{1} {{r_2 ^2 }} = \frac{{\sin ^2 \varphi }} {{a^2 }} + \frac{{\cos ^2 \varphi }} {{b^2 }} \hfill \\ \frac{1} {{r_1 ^2 }} + \frac{1} {{r_2 ^2 }} = \frac{1} {{a^2 }} + \frac{1} {{b^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \]

Где

\[ r_1 ,r_2 \]

- это расстояния от точки О до А и В.

\[ \varphi \]

- это угол между ОА и полярной осью.

Добавлено спустя 34 секунды:

\[ a,b \]

- полуоси эллипса.

[Brukvalub]

Красиво.

[ShMaxG]

Спасибо

[Алексей К.]

Кажется добавлю ясности:
Верно утверждается, что $ \dfrac{1}{r^2(\varphi)} = \dfrac{{\cos ^2 \varphi }}{{a^2 }} + \dfrac{{\sin ^2 \varphi }}{{b^2 }}$.
Далее вычисляется $ \dfrac{1}{r^2(\varphi)}+ \dfrac{1}{r^2(\varphi+\pi/2)}$.

[ShMaxG]

Да.

[MGM]

Алексей К. писал(а):

$x_1=a\cos t_1,\quad y_1=b\sin t_1,\quad x_2=a\cos t_2,\quad y_2=b\sin t_2$
C учётом условия пенпердикулярности, $x_1 x_2 + y_1 y_2=0$, упрощаем заданное выражение.
Получаем $\dfrac{1}{x_1^2+y_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2+y_2^2}=\ldots=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}$.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Как у Zai.

А почему не получается без полярных координат?

[Алексей К.]

MGM: Моё, процитированное Вами решение, --- как раз без полярных координат. Декартовы они: $[x(t),y(t)]$. Решение громоздкое (спрятано за многоточием).
С полярными --- см. гениальное решение ShMaxG.

Да в каких координатах ни крути --- всё, конечно, получится.

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Профессор Снэйп в сообщении #154799 писал(а):

Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу

Профессор, похоже, бегает по Н-ску, ищет того студента...

[Zai]

Алексей К. писал(а):

...ищет того студента...

Там 5 часов разница с Москвой. Свойство эллипса, опубликованное Уважаемым профессором Снэйпом на dS не так широко известно. Интересно, кто и когда его обнаружил?

[MGM]

Алексей К. писал(а):

Да в каких координатах ни крути --- всё, конечно, получится.

Да, это только в принципе. Вы ведь тоже используете тригонометрию, если я не ошибаюсь?
А в уравнении эллипса для ортогонального базиса их нет. Теорема Пифагора, ортогональность, площадь треугольника, наконец, - всё это можно вычислить без тригонометрии.
Надо придумать решении без синусов и косинусов, по крайней мере я попробую.
PS
см. гениальное решение ShMaxG.
Вот если бы он мне наводку по моей задачки дал (с плотностью точек для квадрата), цены ему бы небыло.