2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:24 
В параметрическом уравнении эллипса, $x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t$, параметр $t$ не есть полярный угол. Это тот бывший полярный угол, который был у окружности, до того как её сплюснули в эллипс.
В этом легко убедиться: $\tg\varphi=\frac y x =\frac b a \tg t \not= \tg t$, $\varphi \not= t$.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:28 
Аватара пользователя
Так я и не говорил, что \[
\left\{ \begin{gathered}
  x = r\cos \varphi  \hfill \\
  y = r\sin \varphi  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\] - уравнение эллипса. Я имел ввиду переход в полярные координаты.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:30 
Тогда надо написать не $r$, а $r(\varphi)$?

Не, мне надо внимательнее перечитать, в чём непонятки. time out

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:33 
Аватара пользователя
Для эллипса - конечно.
Сначала я перешел в полярные координаты. И там посмотрел на наш эллипс.Его уравнение там имеет вид:

\[
\frac{{r^2 \cos ^2 \varphi }}
{{a^2 }} + \frac{{r^2 \sin ^2 \varphi }}
{{b^2 }} = 1
\], где \[
r = r\left( \varphi  \right)
\]

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:35 
ShMaxG, у Вас, по-моему, самое гениальное решение. Нет бы нам сразу выложить в явном виде $r(\varphi)$, никто бы не высказывал сомнений и все бы всё поняли. :lol:

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:36 
Аватара пользователя
И что же дальше?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:40 
Аватара пользователя
А потом идет мой предыдущий пост:

ShMaxG писал(а):
В полярных координатах:

\[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{r_1 ^2 }} = \frac{{\cos ^2 \varphi }}
{{a^2 }} + \frac{{\sin ^2 \varphi }}
{{b^2 }} \hfill \\
  \frac{1}
{{r_2 ^2 }} = \frac{{\sin ^2 \varphi }}
{{a^2 }} + \frac{{\cos ^2 \varphi }}
{{b^2 }} \hfill \\
  \frac{1}
{{r_1 ^2 }} + \frac{1}
{{r_2 ^2 }} = \frac{1}
{{a^2 }} + \frac{1}
{{b^2 }} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Где \[
r_1 ,r_2 
\] - это расстояния от точки О до А и В. \[
\varphi 
\] - это угол между ОА и полярной осью.

Добавлено спустя 34 секунды:

\[
a,b
\] - полуоси эллипса.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:44 
Аватара пользователя
Красиво.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:45 
Аватара пользователя
Спасибо :D

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:47 
Кажется добавлю ясности:
Верно утверждается, что $ \dfrac{1}{r^2(\varphi)} = \dfrac{{\cos ^2 \varphi }}{{a^2 }} + \dfrac{{\sin ^2 \varphi }}{{b^2 }}$.
Далее вычисляется $ \dfrac{1}{r^2(\varphi)}+ \dfrac{1}{r^2(\varphi+\pi/2)}$.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 17:50 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:10 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
$x_1=a\cos t_1,\quad y_1=b\sin t_1,\quad x_2=a\cos t_2,\quad y_2=b\sin t_2$
C учётом условия пенпердикулярности, $x_1 x_2 + y_1 y_2=0$, упрощаем заданное выражение.
Получаем $\dfrac{1}{x_1^2+y_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2+y_2^2}=\ldots=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}$.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Как у Zai.

А почему не получается без полярных координат?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:30 
MGM: Моё, процитированное Вами решение, --- как раз без полярных координат. Декартовы они: $[x(t),y(t)]$. Решение громоздкое (спрятано за многоточием).
С полярными --- см. гениальное решение ShMaxG.

Да в каких координатах ни крути --- всё, конечно, получится.

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Профессор Снэйп в сообщении #154799 писал(а):
Сегодня ехал в маршрутке, а сосед по сиденью --- студент-первокурсник решал эту задачу
Профессор, похоже, бегает по Н-ску, ищет того студента...

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:58 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
...ищет того студента...

Там 5 часов разница с Москвой. Свойство эллипса, опубликованное Уважаемым профессором Снэйпом на dS не так широко известно. Интересно, кто и когда его обнаружил?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 19:58 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):

Да в каких координатах ни крути --- всё, конечно, получится.

Да, это только в принципе. Вы ведь тоже используете тригонометрию, если я не ошибаюсь?
А в уравнении эллипса для ортогонального базиса их нет. Теорема Пифагора, ортогональность, площадь треугольника, наконец, - всё это можно вычислить без тригонометрии.
Надо придумать решении без синусов и косинусов, по крайней мере я попробую.
PS
см. гениальное решение ShMaxG.
Вот если бы он мне наводку по моей задачки дал (с плотностью точек для квадрата), цены ему бы небыло.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group