Непонятный момент в решении задач матфизики методом Фурье

[artempalkin]

Пусть дано уравнение колебаний с начальными и краевыми условиями:

$$ \begin{cases} u_{tt}=u_{xx}, 0<x<4, t>0 \\ u(0,t)=u_x(4,t)=0 \\ u(x,0)=0, u_t(x,0)=x/2 \end{cases}$$

Предполагается решать методом Фурье (представить $u=X(x)T(t)$). Тогда, в частности, получается:

$$X''+\lambda X=0$$

и, учитывая краевые условия:

$$X(x)=A \sin\frac{\pi}4(\frac 12+k)x$$

Соответственно, тут несложно найти $T(t)$, потом представить решение в виде линейной комбинации всех возможных решений, подставить в начальные условия и найти коэффициенты Фурье.

Но дело в том, что, насколько я понимаю, функции $\sin\frac{\pi}4(\frac 12+k)x$ не являются членами тригонометрического ряда Фурье на $[-4;4]$! Таковыми будут, например, $\sin\frac{\pi}4kx$. Если бы были только $\sin\frac{\pi}4kx$, то, продлив $x/2$ четным образом мы были бы уверены, что можем сколько угодно близко приблизить ее линейными комбинациями косинусов (которые получаются после дифференцирования). Но в данном случае откуда у нас может взяться такая уверенность? То есть формально, конечно, мы можем найти интегралы типа $\frac 24\int\limits_0^4\frac x2\cos\frac{\pi}4(\frac 12+k)x dx$ и считать их коэффициентами Фурье (с точностью до еще каких-то множителей конкретно в этой задаче), но кто дает нам гарантии, что такой ряд сойдется к функции $x/2$?

[Red_Herring]

artempalkin в сообщении #1548805 писал(а):

не являются членами тригонометрического ряда

Не являются членами "классического" ряда Фурье. Ну и что? Это ортогональные собственные функции, и с ними можно обращаться ... Не говоря уже о том что они являются членами классического ряда Фурье на $(0,8)$.

[artempalkin]

Red_Herring в сообщении #1548823 писал(а):

Не являются членами "классического" ряда Фурье. Ну и что? Это ортогональные собственные функции, и с ними можно обращаться ... Не говоря уже о том что они являются членами классического ряда Фурье на $(0,8)$.

Спасибо за ответ!
По поводу $(0,8)$ да, это будут члены "классического" тригонометрического ряда Фурье (если представить $\frac {\pi}4\left(\frac 12+k \right)=\frac{\pi}8(2k+1)$), но даже в этом случае это будут даже не все синусы ряда (только с нечетным $n$, так сказать).
Да, система будет ортогональна, но, я так понимаю, вовсе не полной (или тотальной, как говорит Хелемский) ортогональной системой. То есть, получается, мы можем построить с ее помощью ряд Фурье, но у нас нет никаких гарантий, что он будет сходиться к функции, так?

[Red_Herring]

artempalkin в сообщении #1548832 писал(а):

Да, система будет ортогональна, но, я так понимаю, вовсе не полной (или тотальной, как говорит Хелемский) ортогональной системой.

Разумеется она будет полной на $(0,4)$. Это следует хотя бы из самосопряженности этой краевой задачи и дискретности спектра. Но в данном случае есть более простые аргументы: рассмотрим функцию на $(0,4)$. Продолжим ее четным (симметричным) образом через $4$ на $(0,8)$. Продолжим ее нечетным образом на $(ь8,8)$. Разложим полученную функцию в классический ряд Фурье. В нем коэффициенты при косинусах будут $0$ (из-за нечетности), а коэффициенты при ненаших синусах тоже $0$ (из-за четности первого продолжения). Все. Неужели ваша книжка не объясняет этого?!

[artempalkin]

Red_Herring в сообщении #1548838 писал(а):

Разумеется она будет полной на $(0,4)$. Это следует хотя бы из самосопряженности этой краевой задачи и дискретности спектра. Но в данном случае есть более простые аргументы: рассмотрим функцию на $(0,4)$. Продолжим ее четным (симметричным) образом через $4$ на $(0,8)$. Продолжим ее нечетным образом на $(ь8,8)$. Разложим полученную функцию в классический ряд Фурье. В нем коэффициенты при косинусах будут $0$ (из-за нечетности), а коэффициенты при ненаших синусах тоже $0$ (из-за четности первого продолжения). Все. Неужели ваша книжка не объясняет этого?!

Спасибо за разъяснение! По идее да, собственные вектора ДОЛЖНЫ быть ПОС, но по их виду это не (было) очевидно. Я попробовал разложить несколько функций, раскладываются хорошо.

[novichok2018]

Кстати, тригонометрическая система с полуцелыми сдвигами - отдельная интересная тема.