Пусть дано уравнение колебаний с начальными и краевыми условиями:

Предполагается решать методом Фурье (представить

). Тогда, в частности, получается:

и, учитывая краевые условия:

Соответственно, тут несложно найти

, потом представить решение в виде линейной комбинации всех возможных решений, подставить в начальные условия и найти коэффициенты Фурье.
Но дело в том, что, насколько я понимаю, функции

не являются членами тригонометрического ряда Фурье на
![$[-4;4]$ $[-4;4]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4d43145ecd9407914a38206ac3aff2982.png)
! Таковыми будут, например,

. Если бы были только

, то, продлив

четным образом мы были бы уверены, что можем сколько угодно близко приблизить ее линейными комбинациями косинусов (которые получаются после дифференцирования). Но в данном случае откуда у нас может взяться такая уверенность? То есть формально, конечно, мы можем найти интегралы типа

и считать их коэффициентами Фурье (с точностью до еще каких-то множителей конкретно в этой задаче), но кто дает нам гарантии, что такой ряд сойдется к функции

?