2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 12:54 


11/09/20
23
Здравствуйте
В учебнике Кудрявцева определение предела дается так:
Точка $a$ называется пределом функции $f(x): X \to \mathbb{R}$ при $x \to x_0$, если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(X \cap U(x_0)) 	\subset U(a)$.
Но в многих других источниках (например в Зориче) в определении требуется существование именно проколотой окрестности $\mathring U(x_0)$точки $x_0$ (остальная часть определения такая же).
Почему есть такие различия ?

--
Пока писал вопрос, заметил что в Зориче дается определение предела только для точки $x_0$, являющейся предельной для множества $X$, в Кудрявцеве этого не требуется. В общем что-то я запутался, даже не совсем понимаю, что мне не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 16:38 
Заслуженный участник


12/07/07
4485
В книге
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах), Т1, 1981.
проколотость оговаривается:


Вложения:
defLim.PNG
defLim.PNG [ 24.55 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 16:43 


11/09/20
23
Я сейчас читаю книгу Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 1. 2003 года.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:05 
Заслуженный участник


12/07/07
4485
Тогда $X$ не содержит $x_0$. Следовательно пересечение $X$ и окрестности $U(x_0)$ не содержит $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:07 


11/09/20
23
Это Вы сделали вывод напрямик из определения или считаете что так должно было бы быть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8755
Цюрих
Если открыть издание 2003 года - там явно видно, что предел у определенной в $x_0$ функции может быть только если она в ней непрерывна (и даже теорема есть - "предел существует тогда и только тогда когда $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$"). Не очень понимаю, зачем так говорить, кроме разве что чтобы не было проблем с пределом в изолированных точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:15 


11/09/20
23
Я честно не совсем понял, что из вашего сообщения следует. Но замечу, что непрерывность определяется там через предел. Можете, пожалуйста, подробнее объяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8755
Цюрих
Что у Кудрявцева другое определение предела чем у Зорича. Например функция $$f(x) = \begin{cases} 0, x \neq 0 \\ 1, x = 0\end{cases}$$ по Зоричу имеет в нуле нулевой предел, а по Кудрявцеву - предела в нуле не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:22 


11/09/20
23
Хорошо, я тоже так подумал. Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8755
Цюрих
Кажется что определение Зорича гораздо более распространенное. Так что по нему, если только дело не происходит на курсе, в котором явно использовалось определение Кудрявцева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:30 
Аватара пользователя


14/12/17
1478
деревня Инет-Кельмында
В предисловии к изданию 2003 г Кудрявцев Л. Д. :
Цитата:
Из сушественных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x \to x_0$ не требуется выполнения условия $x \ne x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, ...

В старом издании всё традиционно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:45 
Заслуженный участник


12/07/07
4485
Определение предела разнящееся с другими книгами (Ильин и Позняк, Никольский,...) дано в первом томе трёхтомного курса математического анализа 1988г издания. В определении на языке последовательностей (по Гейне) в трехтомном курсе не требуется, чтобы элементы последовательности аргументов были отличны от $x_0$.
Поэтому такое определение (по Гейне) эквивалентно определению на языке $\varepsilon$ и $\delta$ (по Коши) с условием $|x-x_0| < \delta$, а не с традиционным $0<|x-x_0|< \delta$.

Издание 1988 г — второе. Кажется там с первого издания такое определение, но под рукой первого издания нет. В библиотеке посмотрю на этой неделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4678
literid в сообщении #1548420 писал(а):
Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?
Такая многозначность в математике встречается, не только здесь.
Понятия окрестности точки в топологическом пространстве, топологической эквивалентности двух множеств, изотопии, гильбертова пространства и даже множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в изложении разных авторов означают похожие, но разные вещи.
Подробнее здесь: topic111446.html

При возникновении путаницы при обсуждении нужно просто уточнять, какой терминологической традиции кто придерживается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 19:14 
Аватара пользователя


14/12/17
1478
деревня Инет-Кельмында
GAA
Просто у меня в руках издание от 1973 года, еще двухтомник. И я с ним рано или поздно разделаюсь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 19:34 
Заслуженный участник


12/07/07
4485
В библиотеке ближайшего университета более раннего (по сравнению с 1988 г.) трехтомного издания "Курса математического анализа" нет.
Возможно двухтомное издание 1981 "Курс математического анализа" было первым изданием (но там ещё нет обсуждаемой особенности).
И в 1988 г. появилась такое определение.
Но эта модификация чисто преподавательская. Особо она ничего не даёт. И в других курсах анализа такое определение, кажется, не встречал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group