Про определение предела

[literid]

Здравствуйте
В учебнике Кудрявцева определение предела дается так:
Точка $a$ называется пределом функции $f(x): X \to \mathbb{R}$ при $x \to x_0$, если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(X \cap U(x_0)) \subset U(a)$.
Но в многих других источниках (например в Зориче) в определении требуется существование именно проколотой окрестности $\mathring U(x_0)$точки $x_0$ (остальная часть определения такая же).
Почему есть такие различия ?

--
Пока писал вопрос, заметил что в Зориче дается определение предела только для точки $x_0$, являющейся предельной для множества $X$, в Кудрявцеве этого не требуется. В общем что-то я запутался, даже не совсем понимаю, что мне не понятно.

[GAA]

В книге
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах), Т1, 1981.
проколотость оговаривается:

[literid]

Я сейчас читаю книгу Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 1. 2003 года.

[GAA]

Тогда $X$ не содержит $x_0$. Следовательно пересечение $X$ и окрестности $U(x_0)$ не содержит $x_0$.

[literid]

Это Вы сделали вывод напрямик из определения или считаете что так должно было бы быть ?

[mihaild]

Если открыть издание 2003 года - там явно видно, что предел у определенной в $x_0$ функции может быть только если она в ней непрерывна (и даже теорема есть - "предел существует тогда и только тогда когда $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$"). Не очень понимаю, зачем так говорить, кроме разве что чтобы не было проблем с пределом в изолированных точках.

[literid]

Я честно не совсем понял, что из вашего сообщения следует. Но замечу, что непрерывность определяется там через предел. Можете, пожалуйста, подробнее объяснить.

[mihaild]

Что у Кудрявцева другое определение предела чем у Зорича. Например функция

$$f(x) = \begin{cases} 0, x \neq 0 \\ 1, x = 0\end{cases}$$

по Зоричу имеет в нуле нулевой предел, а по Кудрявцеву - предела в нуле не имеет.

[literid]

Хорошо, я тоже так подумал. Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?

[mihaild]

Кажется что определение Зорича гораздо более распространенное. Так что по нему, если только дело не происходит на курсе, в котором явно использовалось определение Кудрявцева.

[eugensk]

В предисловии к изданию 2003 г Кудрявцев Л. Д. :

Цитата:

Из сушественных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x \to x_0$ не требуется выполнения условия $x \ne x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, ...

В старом издании всё традиционно.

[GAA]

Определение предела разнящееся с другими книгами (Ильин и Позняк, Никольский,...) дано в первом томе трёхтомного курса математического анализа 1988г издания. В определении на языке последовательностей (по Гейне) в трехтомном курсе не требуется, чтобы элементы последовательности аргументов были отличны от $x_0$.
Поэтому такое определение (по Гейне) эквивалентно определению на языке $\varepsilon$ и $\delta$ (по Коши) с условием $|x-x_0| < \delta$, а не с традиционным $0<|x-x_0|< \delta$.

Издание 1988 г — второе. Кажется там с первого издания такое определение, но под рукой первого издания нет. В библиотеке посмотрю на этой неделе.

[Mikhail_K]

literid в сообщении #1548420 писал(а):

Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?

Такая многозначность в математике встречается, не только здесь.
Понятия окрестности точки в топологическом пространстве, топологической эквивалентности двух множеств, изотопии, гильбертова пространства и даже множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в изложении разных авторов означают похожие, но разные вещи.
Подробнее здесь: topic111446.html

При возникновении путаницы при обсуждении нужно просто уточнять, какой терминологической традиции кто придерживается.

[eugensk]

GAA
Просто у меня в руках издание от 1973 года, еще двухтомник. И я с ним рано или поздно разделаюсь :)

[GAA]

В библиотеке ближайшего университета более раннего (по сравнению с 1988 г.) трехтомного издания "Курса математического анализа" нет.
Возможно двухтомное издание 1981 "Курс математического анализа" было первым изданием (но там ещё нет обсуждаемой особенности).
И в 1988 г. появилась такое определение.
Но эта модификация чисто преподавательская. Особо она ничего не даёт. И в других курсах анализа такое определение, кажется, не встречал.