2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 12:54 


11/09/20
23
Здравствуйте
В учебнике Кудрявцева определение предела дается так:
Точка $a$ называется пределом функции $f(x): X \to \mathbb{R}$ при $x \to x_0$, если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $f(X \cap U(x_0)) 	\subset U(a)$.
Но в многих других источниках (например в Зориче) в определении требуется существование именно проколотой окрестности $\mathring U(x_0)$точки $x_0$ (остальная часть определения такая же).
Почему есть такие различия ?

--
Пока писал вопрос, заметил что в Зориче дается определение предела только для точки $x_0$, являющейся предельной для множества $X$, в Кудрявцеве этого не требуется. В общем что-то я запутался, даже не совсем понимаю, что мне не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 16:38 
Заслуженный участник


12/07/07
4521
В книге
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах), Т1, 1981.
проколотость оговаривается:


Вложения:
defLim.PNG
defLim.PNG [ 24.55 Кб | Просмотров: 0 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 16:43 


11/09/20
23
Я сейчас читаю книгу Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Том 1. 2003 года.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:05 
Заслуженный участник


12/07/07
4521
Тогда $X$ не содержит $x_0$. Следовательно пересечение $X$ и окрестности $U(x_0)$ не содержит $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:07 


11/09/20
23
Это Вы сделали вывод напрямик из определения или считаете что так должно было бы быть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9019
Цюрих
Если открыть издание 2003 года - там явно видно, что предел у определенной в $x_0$ функции может быть только если она в ней непрерывна (и даже теорема есть - "предел существует тогда и только тогда когда $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$"). Не очень понимаю, зачем так говорить, кроме разве что чтобы не было проблем с пределом в изолированных точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:15 


11/09/20
23
Я честно не совсем понял, что из вашего сообщения следует. Но замечу, что непрерывность определяется там через предел. Можете, пожалуйста, подробнее объяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9019
Цюрих
Что у Кудрявцева другое определение предела чем у Зорича. Например функция $$f(x) = \begin{cases} 0, x \neq 0 \\ 1, x = 0\end{cases}$$ по Зоричу имеет в нуле нулевой предел, а по Кудрявцеву - предела в нуле не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:22 


11/09/20
23
Хорошо, я тоже так подумал. Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9019
Цюрих
Кажется что определение Зорича гораздо более распространенное. Так что по нему, если только дело не происходит на курсе, в котором явно использовалось определение Кудрявцева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:30 
Аватара пользователя


14/12/17
1504
деревня Инет-Кельмында
В предисловии к изданию 2003 г Кудрявцев Л. Д. :
Цитата:
Из сушественных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что при определении предела функции по множеству при $x \to x_0$ не требуется выполнения условия $x \ne x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, ...

В старом издании всё традиционно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:45 
Заслуженный участник


12/07/07
4521
Определение предела разнящееся с другими книгами (Ильин и Позняк, Никольский,...) дано в первом томе трёхтомного курса математического анализа 1988г издания. В определении на языке последовательностей (по Гейне) в трехтомном курсе не требуется, чтобы элементы последовательности аргументов были отличны от $x_0$.
Поэтому такое определение (по Гейне) эквивалентно определению на языке $\varepsilon$ и $\delta$ (по Коши) с условием $|x-x_0| < \delta$, а не с традиционным $0<|x-x_0|< \delta$.

Издание 1988 г — второе. Кажется там с первого издания такое определение, но под рукой первого издания нет. В библиотеке посмотрю на этой неделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4826
literid в сообщении #1548420 писал(а):
Но ведь люди же когда между собой общаются понимают что-то одно; если бы было задание найти $\lim_{x \to 0} f(x)$, что следует отвечать ?
Такая многозначность в математике встречается, не только здесь.
Понятия окрестности точки в топологическом пространстве, топологической эквивалентности двух множеств, изотопии, гильбертова пространства и даже множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в изложении разных авторов означают похожие, но разные вещи.
Подробнее здесь: topic111446.html

При возникновении путаницы при обсуждении нужно просто уточнять, какой терминологической традиции кто придерживается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 19:14 
Аватара пользователя


14/12/17
1504
деревня Инет-Кельмында
GAA
Просто у меня в руках издание от 1973 года, еще двухтомник. И я с ним рано или поздно разделаюсь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про определение предела
Сообщение09.02.2022, 19:34 
Заслуженный участник


12/07/07
4521
В библиотеке ближайшего университета более раннего (по сравнению с 1988 г.) трехтомного издания "Курса математического анализа" нет.
Возможно двухтомное издание 1981 "Курс математического анализа" было первым изданием (но там ещё нет обсуждаемой особенности).
И в 1988 г. появилась такое определение.
Но эта модификация чисто преподавательская. Особо она ничего не даёт. И в других курсах анализа такое определение, кажется, не встречал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group