Диофантовые уравнения и тригонометрия.

[Коровьев]

Итак, множество точек $z$-плоскости вида
$$\[ D\left( t \right) = E^2 \left( t \right) = \left( {C\left( t \right) + S\left( t \right)i} \right)^2 = \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i} \right)^2 \]$
с рациональным аргументом $t$ обладает таким свойством, что
- расстояние на $z$-плоскости между двумя любыми точками этого множества всегда рационально.
- три любые точки этого множества на $z$-плоскости образуют треугольник Герона - все стороны и площадь рациональны.
(и вообще $n$ любых точек на $z$-плоскости образуют $n$-угольник, у которого все стороны и все диагонали рациональны.)
И здесь есть вопрос, а существует ли среди всех этих треугольников хотя бы один прямоугольный треугольник?
Пока это не известно, ибо существование такого треугольника равносильно существованию полного рационального кубоида.
В самом деле, у полученных треугольников все стороны $a,b,c$ определяются
так: $$\[ a = 2S\left( m \right),b = 2S\left( n \right),c = 2S\left( k \right) \]$
при некоторых рациональных $\[m,n,k\]$.
Если треугольник прямоугольный, то должно быть равенство:

$$\[ S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) = S^2 \left( k \right) \]$,

а это есть уравнение для полного кубоида.
Пусть стороны кубоида равны

$$\[ a = S\left( m \right),b = S\left( n \right),c = C\left( k \right) \]$

тогда

$\[ d_{abc} ^2 = S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) + C^2 \left( k \right) = 1 \]$

$$\[ d_{ab}^2 = S^2 \left( m \right) + S^2 \left( n \right) = S^2 \left( k \right) \]$

$$\[ d_{bc} ^2 = S^2 \left( n \right) + C^2 \left( k \right) = 1 - S^2 \left( m \right) = C^2 \left( m \right) \]$

$$\[ d_{ca} ^2 = S^2 \left( m \right) + C^2 \left( k \right) = 1 - S^2 \left( n \right) = C^2 \left( n \right) \]$

[TR63]

Коровьев в сообщении #1516356 писал(а):

существует ли среди всех этих треугольников хотя бы один прямоугольный треугольник?

Что известно про тупоугольные и остроугольные?

Спрашиваю потому, что Ваша проблема похожа на проблему Шарыгинских треугольников.

(Оффтоп)

Для них исходная схема имела вид: {тупоугольные; прямоугольные; остроугольные}. Обозначение $\{1;2;3\}$. Вопрос $\{1_?/2_-;3_-\}$. Знак плюс означает "существование целочисленных Шарыгинских треугольников". Оказалось, что схема имеет вид $\{1_+/2_-;3_-\}$, т.к. в результате численного эксперимента таки нашлись целочисленные тупоугольные Шарыгинские треугольники.

[Коровьев]

Тетраэдры с рациональными рёбрами и рациональными площадями граней.
Иначе, речь пойдёт о тетраэдре с гранями составленными из треугольников Герона.

Для начала обозначение:
$$ \[ S\left| {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right| = S\left| {\frac{{y - x}}{{1 + xy}}} \right| = \frac{{2\left| {x - y} \right|\left| {1 + xy} \right|}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)}} \] $

Рассмотрим тетраэдр $\[ABCD\]$ со сторонами:
$$ \[ AB = S\left| {\frac{{a - b}}{{1 + ab}}} \right|,AC = S\left| {\frac{{a - c}}{{1 + ac}}} \right|,AD = S\left| {\frac{{d - a}}{{1 + da}}} \right|, \] $

$$ \[ BC = S\left| {\frac{{b - c}}{{1 + bc}}} \right|,BD = S\left| {\frac{{b - d}}{{1 + db}}} \right|,DA = S\left| {\frac{{d - a}}{{1 + da}}} \right|. \] $

Грани этого тетраэдра со сторонами:
1. Грань ABC.
$$ \[ AB = S\left| {\frac{{a - b}}{{1 + ab}}} \right|,BC = S\left| {\frac{{b - c}}{{1 + bc}}} \right|,CA = S\left| {\frac{{c - a}}{{1 + ca}}} \right| \] $

2. Грань ABD.
$$ \[ AB = S\left| {\frac{{a - b}}{{1 + ab}}} \right|,BD = S\left| {\frac{{b - d}}{{1 + db}}} \right|,DA = S\left| {\frac{{d - a}}{{1 + da}}} \right| \] $

3. Грань ACD.
$$ \[ AC = S\left| {\frac{{a - c}}{{1 + ac}}} \right|,CD = S\left| {\frac{{c - d}}{{1 + cd}}} \right|,DA = S\left| {\frac{{d - a}}{{1 + da}}} \right| \] $

4. Грань BCD.
$$ \[ BC = S\left| {\frac{{b - c}}{{1 + bc}}} \right|,CD = S\left| {\frac{{c - d}}{{1 + cd}}} \right|,DB = S\left| {\frac{{d - b}}{{1 + db}}} \right| \] $

Позже я покажу, что при рациональных переменных этот тетраэдр, с рациональными длинами рёбер, имеет рациональными все площади граней.
Причём, здесь три независимых переменных.

[Коровьев]

На стр.2, пункт 6.Формула Герона показано, что стороны треугольника Герона при рациональных переменных должны удовлетворять следующим соотношениям сторон:

$$ \[ A = a\left| {S\left( t \right)} \right| = a\left| {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }}} \right| \] $

$$ \[ B = a\left| {S\left( k \right)} \right| = a\left| {\frac{{2k}}{{1 + k^2 }}} \right| \] $

$$ \[ C = a\left| {S\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)} \right| = a\left| {\frac{{2\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)\left( {1 + t^2 } \right)}}} \right| \] $

Положим:
$$ \[ a = 1;t = \frac{{a - b}}{{1 + ab}};k = \frac{{b - c}}{{1 + bc}}; \] $

тогда:

$$ \[ \frac{{k + t}}{{1 - kt}} = - \frac{{c - a}}{{1 + ac}} \] $

И мы пришли к указанным ранее сооиношениям сторон треугольника Герона.