Координатная особенность в ОТО

[sergey zhukov]

В координатах Шварцшильда на горизонте ЧД есть координатная особенность. Причем по обе стороны от горизонта координаты ведут себя регулярно и имеют смысл, если во всех случаях считать временной координатой ту, квадрат дифференциала которой входит в метрику с плюсом.
Правильно ли я понимаю, что в координатах Шварцшильда на горизонте ЧД происходит то же самое, что в этом модельном примере:


Допустим, мы имеем такое искривленное пространство-время (изображенное световыми конусами). Попытка покрыть его координатами в первом случае приводит к появлению областей, в которых пространственная ось должна соединять причинно связанные события, а временная - причинно не связанные. Т.к. по самому их определению должно быть наоборот, в этих областях мы должны, по сути, поменять местами дифференциалы координат в выражении для метрики. Т.е. временная координата всегда та, что входит в выражение для метрики с плюсом, а пространственная всегда та, что входит с минусом.
Одна из возможных систем координат без особенностей для того же пространства-времени показана справа.

Значит ли это, что координаты Шварцшильда покрывают все пространство-время, в том числе и под горизонтом ЧД, но они плохо ведут себя только на самом горизонте? Или подобная координатная сингулярность сама по себе и называется неполным покрытием координатами пространства-времени?

[Someone]

Вот картинка из МТУ:

Вложение:

MTU1.gif [ 56.3 Кб | Просмотров: 0 ]

Горизонт событий изображён двумя прямыми, пересекающимися в центре. На горизонте шварцшильдовская временна́я координата $t$ не определена.

[sergey zhukov]

Someone
Кажется, понятно.
Координатная сингулярность координат Шварцшильда на горизонте не имеет прямого отношения к их неполноте. Эта сингулярность - отдельная проблема. Неполнота этих координат состоит в том, что они покрывают только половину пространства-времени, что совсем не очевидно.
Я правильно понимаю, что координаты Крускала локально представляют собой просто координаты Риндлера для плоского пространства-времени? В плоском пространстве-времени в координатах Риндлера существование этих четырех квадрантов, а так же наличие "черного" и "белого" горизонтов выглядит очевидным. Если исходить из этой аналогии, то действительно, координаты Шварцшильда покрывают только половину пространства-времени.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1528427 писал(а):

Я правильно понимаю, что координаты Крускала локально представляют собой просто координаты Риндлера для плоского пространства-времени?

Неправильно - координаты представляют собой отображение области пространства-времени на область в $\mathbb{R}^4$

-- 10.08.2021, 00:51 --

sergey zhukov в сообщении #1528427 писал(а):

они покрывают только половину пространства-времени

четверть

[sergey zhukov]

Geen
Почему четверть? Вот же на приведенной странице из МТУ сказано: Для покрытия всей геометрии Шварцшильда требуется две шварцшильдовские координатные системы. Значит, одна покрывает половину.

Кривизна пространства-времени в геометрии Шварцшильда добавляет, конечно, отличительные особенности. Но если говорить о горизонтах, которые делят эту геометрию на четыре квадранта в координатах Крускала, то я тут принципиальных отличий от координат Риндлера для плоского пространства не вижу. Например, ясно, что в квадрантах 1 и 3 в координатах Крускала пространство-время должно быть асимптотически плоским для $r \to \infty$, т.е. для достаточно больших $r$ мы тут имеем плоское пространство-время в координатах Риндлера. Разве нет?

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1528471 писал(а):

Разве нет?

Похоже Вы не совсем понимаете, что такое третий квадрант.

sergey zhukov в сообщении #1528471 писал(а):

Для покрытия всей геометрии Шварцшильда требуется две шварцшильдовские координатные системы.

Нет, это неверно. Система координат не может быть разрывной, переваливать через бесконечность или содержать границы.

[sergey zhukov]

Geen
В плоской Вселенной могут существовать два независимых друг от друга мира вечно ускоренных наблюдателей в квадрантах 1 и 3. В геометрии Шварцшильда с вечной черной дырой так же могут сушествовать два независимых мира наблюдателей в тех же квадрантах. Наблюдатель, уходя под горизонт в одном мире, получает возможность наблюдать другой мир. По моему, тут полная аналогия между этими случаями.

Вечно ускоренные наблюдатели и вечная черная дыра - это идеализация, конечно. В действительности наблюдатели когда-то начали ускорение, а не ускорялись вечно. Черная дыра когда-то сформировалась в результате коллапса, а не существовала всегда. Поэтому нет реально двух миров, мировые линии частиц в которых причинно не связаны друг с другом ни в одной своей точке.

Разве тут что-то неправильно?

[sergey zhukov]

В одной лекции Леонарда Сасскинда предлагается такой простой способ создать черную дыру. Представим себе, что с бесконечности к центру движется сжимающаяся световая сфера (скажем, бесконечно малой толщины). Внутри этой сферы пространство-время плоское. Вне сферы - пространство-время Шварцшильда. В некоторый момент времени световая сфера уходит под собственный горизонт событий, образуется черная дыра. На пространственно-временной диаграмме это выглядит так:

Плоское пространство-время склеивается с пространством-временем Шварцшильда в координатах Крускала (показана половинка общей картины). Прямые $r=\operatorname{const}$ переходят в гиперболы $r=\operatorname{const}$.

Допустим, есть несколько наблюдателей, которые до прихода световой сферы располагались неподвижно на разных расстояниях от точки, в которую стягивается световая сфера.

Наблюдатель $A$ находился прямо в этой точке. Т.к. сжимающуюся световую сферу невозможно наблюдать изнутри, этот наблюдатель ничего особенного не видит до самого последнего момента, когда он неожиданно оказывается в сингулярности и время для него заканчивается. Видно, что он был обречен задолго до этого момента, когда совершенно незаметно для себя он попал под разрастающийся горизонт событий (серая область). Никаких шансов узнать этот факт у него не было, но любая мировая линия, пересекающая горизонт событий, далее имеет конечную длину (время для таких объектов в недалеком будущем кончается).

Наблюдатель $B$ тоже попал под разрастающийся горизонт событий. Он двигался ускоренно, удаляясь от центра, в какой-то момент времени даже пересек схлопывающуюся световую сферу, но все равно шансов у него не было, т.к. он тоже попал под горизонт. Интересно, что в момент падения на сингулярность он видит, что световая сфера еще даже не достигла центра, а наблюдатель $A$ еще не достиг сингулярности. Так что $B$ кажется, что для него все закончилось раньше, чем для всех остальных (так кажется каждому). Если же сравнить собственное время $A$ и $B$, то тоже окажется, что $B$ попал в сингулярность по собственным часам быстрее, чем $A$.

Наблюдатель $C$ не делал ничего, поэтому когда световая сфера миновала его, он начал свободно падать и тоже быстро закончил свое существование.

Наблюдатель $D$ начал ускоряться от центра сразу после того, как его миновала световая оболочка. Он двигался по гиперболе и сохранил $r=const$.

Правильно ли понимать, что сингулярность - это не просто массивная точка, мировую линию которой можно нарисовать на пространственно-временной диаграмме? Линия, соответствующая сингулярности, пространственноподобная? В каком-то смысле можно считать даже, что это не линия, а пространственная гиперповерхность (хотя ее метрика не определена), край пространства-времени? Скажем, если бы в обычном плоском пространстве-времени существовал край, то это и была бы такая гиперповерхность:

Все мировые линии "закончились" бы в разных местах на этом краю. Отличие сингулярного края от этого простого примера в том, что у этого плоского "края" с метрикой все понятно, а на сингулярном крае метрика вырождается. Но если даже она и вырождается, все равно концы всех мировых линий на сингулярности находятся в разных точках пространства? Разные пробные тела, падая на сингулярность, попадают на разные точки этой поверхности. Даже упав из одного места (по координатам $r, \varphi, \theta$) в разные моменты времени.

Или же бессмысленно говорить о том: в одной и той же точке пространства кончаются все мировые линии упавших в черную дыру или в разных?

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1547242 писал(а):

Или же бессмысленно говорить о том: в одной и той же точке пространства

Бессмысленно говорить о точках пространства. Безотносительно к сингулярностям.

[sergey zhukov]

Geen
Допустим, две близкие частицы падают в черную дыру из точек $(r,\varphi)$ и $(r,\varphi+\partial \varphi)$. Они измеряют радарное расстояние между собой. Будет ли это расстояние стремиться к нулю по мере их приближения к сингулярности?

[upgrade]

sergey zhukov в сообщении #1547248 писал(а):

Они измеряют радарное расстояние между собой

Можно узнать как именно они это делают?

[sergey zhukov]

upgrade
Да обычным образом. Один посылает импульс света и ждет его отражения от второго. Расстояние есть половина времени ожидания, деленная на скорость света. Тут вроде бы никаких сложностей нет.

[upgrade]

sergey zhukov в сообщении #1547252 писал(а):

Один посылает импульс света и ждет его отражения от второго.

Почему то я подозреваю, что после того как один из них попадет под горизонт событий второй уже не дождётся отраженного сигнала, хотя могу ошибаться. Или они начали падать на равном расстоянии от горизонта?

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1547242 писал(а):

Линия, соответствующая сингулярности, пространственноподобная? В каком-то смысле можно считать даже, что это не линия, а пространственная гиперповерхность (хотя ее метрика не определена), край пространства-времени?

Имхо, это верно в определенном предельно-ассимптотическом смысле.
Грубо говоря, если "стягивать" вокруг сингулярности 4d-цилиндр, сингулярность будет его одномерно-пространственноподобная ось, "боковая 3d поверхность" этого цилиндра будет произведением SxI (сфера на одномерное направление) и также пространственноподобна по всем направлениям, а "радиальное направление" (от "боковой 3d поверхности" к "оси" цилиндра) времениподобно.
Это хорошо видно на диаграмме координат Крускала (где каждой точки диаграммы соответствует пространственноподобная двухмерная сфера S, поскольку две угловые координаты на ней не представлены).
Но, поскольку

sergey zhukov в сообщении #1547242 писал(а):

ее метрика не определена

- т.е. сингулярность физическая (инварианты кривизны обращаются в бесконечность) и соответно физические расстояния/интервалы на этой одномерной топологической гиперповерхности не определены,

sergey zhukov в сообщении #1547242 писал(а):

концы всех мировых линий на сингулярности находятся в разных точках пространства? Разные пробные тела, падая на сингулярность, попадают на разные точки этой поверхности.

то если про "разные точки" на ней вообще можно говорить, то разве что в топологически-афинном, но не и метрическом смысле.

-- 27.01.2022, 18:42 --

sergey zhukov в сообщении #1547248 писал(а):

Допустим, две близкие частицы падают в черную дыру из точек $(r,\varphi)$ и $(r,\varphi+\partial \varphi)$. Они измеряют радарное расстояние между собой. Будет ли это расстояние стремиться к нулю по мере их приближения к сингулярности?

Если они "начинают падать одновременно" и строго-радиально (скажем, снаружи горизонта, "одновременно" по шварцшильдовской координатой t) то да, радарное расстояние будет стремиться к нулю вплоть до сингулярности. Это очевидно из диаграммы Крускала где угловые координаты отсутствуют - их мировые линии будут на ней совпадать (и очевидно иметь одинаковую длину т.е. собственное время до падения на сингулярность). Значит, радарное расстояние будет зависеть только от разнице угловых координат - но поскольку она не меняется, то с уменьшением времени которое остается до сингулярности, физическое 3-d расстояние будет все меньше и меньше, и соответно радарное расстояние будет тоже уменьшаться вплоть до нуля (если это не очевидно, то можно посчитать по метрике).
Т.е. такие тела упадут "в одном и том же месте на одномерной пространственноподобной сингулярности" (в указанном выше ассимптотическом смысле).

Но, если такие же тела "начинают падать" из одном и том же месте радиально, но НЕ одновременно (по шв. координатой t) - сперва "отрывается" одно, потом другое - то радарное расстояние между ними будет увеличиваться (это нетрудно посчитать например по метрике Леметра) - и соответно, они встретят пространственноподобную одномерную линию сингулярности в заведомо "разных мест" (в том же ассимптотическом смысле).

Качественно это не особо отличается от обычном поведении в Ньютоне, где радиально падающие близкие тела сближаются по тангенциальном, и удаляются по радиальном направлении.

P.S. Все вышесказанное разумеется относится к "центральной" (физической) сингулярности шварцшильдовской ЧД, а не чисто-координатных сингулярностей (горизонт)

[sergey zhukov]

manul91
Похоже, понятно.

Возьмем кусок плоского пространство-времени, в котором неподвижные наблюдатели равномерно перемещаются вдоль вертикального временного направления. Если этот кусок свернуть в сектор, а затем - в круг (так, чтобы площади всех ячеек сетки сохранились), то мы получаем радиальное падение свободных наблюдателей в ЧД:


Пространственная поверхность (красная) сжимается в точку (та самая одномерная пространственноподобная ось цилиндра с времениподобным радиальным направлением).

Из сохранения площади ячеек сетки следует закон движения, аналогичный закону падения на точечную гравитационную массу Ньютона, если временная координата - это собственное время падающих наблюдателей. Это то, что Эндрю Гамильтон называет "Поток пространства": поток несжимаемой жидкости стремится к стоку в центре ЧД, а наблюдатели - локально неподвижные относительно потока поплавки. Такие поплавки в таком потоке движутся точно так же, как если бы они падали на гравитационный центр под действием гравитации. Такое представление в некоторых специальных случаях можно использовать.

Для радиально падающего наблюдателя локально все будет выглядеть так, как будто он падает на точечную массу Ньютона (приливные силы, зависимость расстояния до соседей от времени). Правильное время своего падения он может подсчитать из классического закона сохранения энергии, в котором скорость падения стремится к бесконечности в точке гравитационного центра.

upgrade
Оба наблюдателя ведь падают в ЧД (все равно, как). Если первый наблюдатель дал вспышку света уже под горизонтом, то луч, конечно, из под горизонта уже не выйдет. Но второй наблюдатель тоже падает под горизонт, так что скоро он этот луч уже под горизонтом увидит.