Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, а вот тут, на стр. 43:

, хотели же написать $\bar{x}=\left\{ x'\mid f(x')=f(x\}\right\}$?

[nnosipov]

Да.

[Sinoid]

Скажите, а вот обычно понятие индуцированного отношения, индуцирование отношения:

в учебниках не определяется. Мне кажется, что я понимаю, что это такое. Это что, считается, что это понятие настолько просто и интуитивно ясно, что и определять его не нужно? Хотя бы описательно.

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, а вот тут, на той же стр. 43:

там, где задающее $f$ и определение $f$ вместо $f$ следовало же писать $\bar{f}$?

-- 27.01.2022, 00:00 --

Вот более крупный контекст того места:

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1547163 писал(а):

Скажите, а вот обычно понятие индуцированного отношения, индуцирование отношения в учебниках не определяется.

Но ведь то, что Вы привели в последнем сообщении ("контекст" со стр. 43) - и есть определение. Вместо фразы "Отображение $f$ индуцирует отображение $\overline f$, определённое правилом..." можно было написать "Отображение, индуцированное отображением $f$ - это отображение $\overline f$, определённое правилом..."

Здесь надо уточнить, что в других контекстах и других математических дисциплинах определение "индуцирования" может быть и совсем другим. Вообще, слово "индуцирует" означает "определяет" - в том смысле, что каждому $f$ поставлено в соответствие своё $\overline f$. А как именно определяет - зависит от контекста.

Sinoid в сообщении #1547204 писал(а):

там, где задающее $f$ и определение $f$ вместо $f$ следовало же писать $\bar{f}$?

Да. Хотя стоило бы привести более полный скан, например всю страницу.

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1547212 писал(а):

Хотя стоило бы привести более полный скан, например всю страницу.

Я понимаю, что так делать лучше, но не сделал этого по двум причинам. Во-первых, слишком много текста отбивает охоту его читать, в него вникать, так что, сделай я так, я рисковал остаться вообще без какого-либо ответа, как, к примеру, так и осталось на предыдущей странице с решениями нескольких задач. Поэтому-то я и выбрал минимум цитируемого текста. Но этот минимум я выбрал таким образом, чтобы не было ни малейшего ущерба пониманию смысла цитируемого текста. Во-вторых, те места, где я тогда предполагал, что есть опечатки, я промаркировал с помощью соседних слов. И вот, чтобы эти соседние слова сразу бросались в глаза, я и привел маленький участок этих мест.

-- 27.01.2022, 18:30 --

Mikhail_K в сообщении #1547212 писал(а):

Но ведь то, что Вы привели в последнем сообщении ("контекст" со стр. 43) - и есть определение.

Просто ожидается, что определение чего-либо выглядит примерно следующим образом: Отображение $f$ ... индицирует отображение $\bar{f}$ ...‚ если ...
Вот в такой подаче всем сразу понятно, что это определение. В подаче же как в книге и что это определение-то понимается не сразу. Но, да, это чисто мое, субъективное.

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, а вот тут:

там, где подчеркнутое красным Инъективность $f$, вместо $f$ имелось же ввиду $\bar{f}$?

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1547259 писал(а):

там, где подчеркнутое красным Инъективность $f$, вместо $f$ имелось же ввиду $\bar{f}$?

Да, верно. Что-то многовато опечаток.

[Sinoid]

Mikhail_K
спасибо большое за рецензию.

Mikhail_K в сообщении #1547263 писал(а):

Что-то многовато опечаток.

Я не могу, конечно, сказать, что во всех книгах, которые я читал или пробовал читать, но в бо́льшей их части дело обстояло схожим образом. И вот сидишь сам на сам изучаешь с нуля, а там такое... И не знаешь, как оно на самом деле, думаешь: "Ну, ведь это же писали отучившиеся люди, которым за это оценки в дипломы выставили, ведь не может же быть, чтобы было столько опечаток. Поэтому, скорее всего, дело во мне: это я что-то неправильно понимаю в большом количестве..." Спасибо вам всем за вашу реакцию на мои вопросы.

[Sinoid]

В очередной раз попалось про наибольшие и т. д. элементы множества. Я и раньше знал, что в множестве может быть несколько максимальных элементов. Но знать-то я знал, а вот попытка привести конкретный пример этого у меня не получалось. Сейчас, как будто, что-то придумалось. Не знаю, так не так. Посмотрите, пожалуйста. Может, замечания какие-нибудь будут. Я буду показывать на множестве $M=\left\{ 1,\,2,\,3,\,4\right\} $. В качестве отношения я возьму "является кратным". Тогда, если бы при таких условиях существовал наибольший элемент, то им бы мог быть только наибольший (я имею ввиду конкретно вот в этом месте обычный, школьный, смысл слова "наибольший") элемент этого множества 4: для любого другого элемента этого множества можно указать третий элемент множества, который будет больше этого другого, и, значит, этот другой элемент не может быть кратен этому третьему. Но 4 не кратно 3, поэтому в данном множестве при данном отношении наибольшего элемента нет. Теперь посмотрим, как обстоит дело в данном случае с максимальными элементами. Имеем следующую цепочку кратностей: $2\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}1$, $4\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}2$. Если же $x\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}4$ и $x\in M$, то $x=$ только и только 4. Получается, 4 - максимальный элемент. Далее, имеем еще одну кратность: $3\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}1$, а $x\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}3$ и $x\in M$ тогда и только тогда, когда $x=3$. Получается, что 3 - еще один максимальный элемент. Итак, получили, что при данном множестве и данном отношении имеем 2 максимальных элемента. Скажите, пожалуйста, я правильный пример придумал?

[Sinoid]

Что-то какая-то ерунда пришла в голову. Задача 8.18:
Доказать, что при целоисчисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов целоисчисленной матрицы НОД ее миноров фиксированного порядка $k$ не меняется.
Беру матрицу $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$. Пусть, например, $k=2$. У матрицы $A$ следующие миноры второго порядка: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\,\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix},\,\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$, которые имеют некоторый НОД - $d$. Пусть от матрицы $A$ мы пришли к матрице $A_{1}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{pmatrix}$. Эта матрица будет иметь следующие миноры второго порядка: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$. И что, НОД этих чисел прям всегда-всегда должен быть $d$?? Меня смущает пришедший в голову пример: $(2,\,4)=2$, но $(4,\,4+2\cdot6)$ уже 4. Объясните, пожалуйста.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1547630 писал(а):

Меня смущает пришедший в голову пример: $(2,\,4)=2$, но $(4,\,4+2\cdot6)$ уже 4

А почему Вы берёте НОД 2-х чисел, а не 3-х?

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1547688 писал(а):

А почему Вы берёте НОД 2-х чисел, а не 3-х?

Это я чтоб проще: придумать аналогичный пример из 3-х чисел вообще не составляет никакого труда.

-- 02.02.2022, 03:03 --

Sinoid в сообщении #1547630 писал(а):

$A_{1}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{pmatrix}$. Эта матрица будет иметь следующие миноры второго порядка: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$.

Здесь вместо $k$ нужно было использовать любую другую букву, например, $m$: $k$-то я использовал в другом месте:

Sinoid в сообщении #1547630 писал(а):

миноров фиксированного порядка $k$

[xagiwo]

Моё предыдущее замечание было не в тему, извиняюсь.

Sinoid в сообщении #1547630 писал(а):

$(2,\,4)=2$, но $(4,\,4+2\cdot6)$

А по какой логике из (2, 4) получилось (4, 4+2·6) и какая здесь связь с преобразованием миноров?

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1547692 писал(а):

какая здесь связь с преобразованием миноров?

Связи с минорами здесь никакой. Это уже чистая теория чисел. Этим примером я хочу показать, что преобразованием, аналогичным преобразованию в решаемой задаче, мы можем изменить НОД некоторого множества целых чисел.