Принцип наименьшего действия.

[George M]

$L=\frac{mr^{.2}}{2}$ $r\left(t_{1}\right)=r_{1}$ $r\left(t_{2}\right)=r_{2}$

Используя принцип наименьшего действия, я получил следующее уравнение движения: $r=C_{1}t+C_{2}$. Константы, само собой, можно получить из начального и конечного условия.

Как мне доказать, что найденная мною траектория соответствует минимуму действия, а не максимуму? Можно ли ограничиться тем фактом, что $dS=S\left(a^{.}+da^{.}\right)-S\left(a^{.}\right)$ данная величина будет положительной для всех траекторий? Если да, то как это объяснение оформить менее формально?

Помимо этого меня интересует ещё одна задача:

Имеется бусинка на окружности (сила тяжести отсутствует, то есть речь идет о свободной частице, живущей на кольце). Если радиус окружности $r$, а положение бусинки на окружности задается углом а, то лагранжиан бусинки, совпадающий с ее кинетической энергией, равен $\frac{mr^{2}a^{.2}}{2}$. Необходимо написать траекторию $a(t)$, оценить их количество и указать: локальному минимуму, максимуму или седлу они соответствуют.

Мне кажется, что подход для решения сводится к решению дифференциального уравнения $a^{..^{2}}=0$ .Но всё же данная задача и её ответ отличаются от предыдущей, мне бы хотелось узнать, что необходимо учесть дополнительно и соответственно какие-то наброски

[zykov]

George M в сообщении #1546856 писал(а):

Как мне доказать, что найденная мною траектория соответствует минимуму действия, а не максимуму?

Доказать легко, только зачем это надо?

[George M]

zykov в сообщении #1546858 писал(а):

George M в сообщении #1546856 писал(а):

Как мне доказать, что найденная мною траектория соответствует минимуму действия, а не максимуму?

Доказать легко, только зачем это надо?

Одно из необходимых условий задачи, которую мне следует решить.

[zykov]

Это я к тому, что "принципом наименьшего действия" его называют скорее по привычке. На самом деле это "принцип стационарности действия".
Принцип наименьшего действия:

Цитата:

Принцип наименьшего действия Гамильтона, также просто принцип Гамильтона (точнее — принцип стационарности действия)

Т.е. дело там не в минимальности. Это хорошо видно при переходе от квантового случая Фейнмановских интегралов по траекториям к классическому случаю.

Раз преподаватель требует доказать мимимальность, то здесь это легко сделать.
Посмотрите на интеграл действия в виде "правильная траектория + ошибка" - там будет квадратный многочлен.

[George M]

zykov в сообщении #1546860 писал(а):

Это я к тому, что "принципом наименьшего действия" его называют скорее по привычке. На самом деле это "принцип стационарности действия".
Принцип наименьшего действия:

Цитата:

Принцип наименьшего действия Гамильтона, также просто принцип Гамильтона (точнее — принцип стационарности действия)

Т.е. дело там не в минимальности. Это хорошо видно при переходе от квантового случая Фейнмановских интегралов по траекториям к классическому случаю.

Раз преподаватель требует доказать минимальность, то здесь это легко сделать.
Посмотрите на интеграл действия в виде "правильная траектория + ошибка" - там будет квадратный многочлен.

Мне стоит рассмотреть следующий интеграл действия: $\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{mr^{.^{2}}}{2}dt+\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{2r^{.}dr^{.}+dr^{.^{2}}}{2}dt$ и из неотрицательности интеграла, полученного ошибкой, сделать вывод о минимальности моего действия? Я правильно вас понял?

[zykov]

$dr$ там неуместно, т.к. $dr$ уже в самом интеграле используется.
Лучше написать $r(t)=r_0(t)+\Delta r(t)$, где $r_0(t)$ удовлетворяет диффуру (вторая производная равна нулю).

[George M]

zykov в сообщении #1546862 писал(а):

$dr$ там неуместно, т.к. $dr$ уже в самом интеграле используется.
Лучше написать $r(t)=r_0(t)+\Delta r(t)$, где $r_0(t)$ удовлетворяет диффуру (вторая производная равна нулю).

То есть моё умозаключение верно, если сменить $dr$ символику $\Delta$$r$ символику? Если да, то я разобрался с этим вопросом.

Что вы можете посоветовать для исследования второй задачи?

[zykov]

George M в сообщении #1546856 писал(а):

Но всё же данная задача и её ответ отличаются от предыдущей, мне бы хотелось узнать, что необходимо учесть дополнительно и соответственно какие-то наброски

Дополнительно - только эквивалентность точек $a$ и $a+2\pi k$, где $k$ - целое число.

[Ascold]

George M в сообщении #1546856 писал(а):

Как мне доказать, что найденная мною траектория соответствует минимуму действия, а не максимуму?

Посмотрите 51 параграф Ольховского, курс теоретической механики для физиков, там растолковывается, как изыскать минимальность через вторые производные от лагранжиана по скоростям.

[George M]

Спасибо вам за помощь, я разобрался со всеми интересующими меня вопросами и заданиями и даже немного больше: вывел в качестве упражнения уравнение для Лагранжиана, включающего производную второго порядка.

В дальнейшем изучении темы, уже не в качестве преподавательского задания, я столкнулся со следующей задачей. Не вижу смысла создавать для неё новую тему, поскольку суть остаётся и подходы остаются прежними.

Распространение света в среде подчиняется принципу Ферма, согласно которому, из всех путей от точки А до точки В свет «выбирает» тот, на который ему потребуется меньшего всего времени (с учетом показателя преломления среды). Иными словами, истинная траектория света является
минимумом следующего функционала:

$T\left[r\left(s\right)\right]=\int_{ }^{ }\frac{dl}{v}=\int_{0}^{1}\frac{n\left(r\left(s\right)\right)}{c}\cdot\left|r^{,}\left(s\right)\right|ds$

где $r\left(s\right)$ - траектория луча света, s [0;1] - параметризация траектории, а $n\left(r\right)$ - показатель преломления среды в точке $r$, а $c$ - скорость света в вакууме. Траектория удовлетворяет граничными условиям $r\left(0\right)=r_{1}$ $r\left(1\right)=r_{2}$

Пуская среда содержит границу раздела двух материалов с разными показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$, которая удовлетворяет следующим условиям:

$n\left(r\right)=n_{1},\ z<0$
$n\left(r\right)=n_{2},\ z>0$

Луч испускается из точки $\left(x_{1};0;z_{1}\right)$ и поглощается в точке $\left(x_{2};0;z_{2}\right)$ Необходимо найти траекторию луча и проверить выполняемость закона Снелла на границе.

Мои размышления заключаются в следующем: траекторию необходимо искать в каждом из материалов независимо. После чего накладывать условие непрерывности луча и искать наилучшую точку пересечения границы раздела. Загвоздка в том, что я пока не знаю, как математически оформить мне свои размышления и какие действия начать делать в первую очередь.

Буду очень благодарен, если направите в нужное русло и поможете в случае возникновения проблем с мат. выкладками

[sergey zhukov]

George M
Это классическая задача, она разбирается чуть ли не в каждой лекции, где упоминается принцип Ферма. Возьмите произвольную точку $(x,0)$ на линии раздела сред, через которую пройдет луч, подсчитайте сумму затраченного времени на преодоление этого пути, как функцию $x$ и найдите экстремум этой функции.

Тут произвольный путь луча зависит всего от одного параметра (расположение точки преломления), поскольку и так ясно, что он состоит из двух отрезков прямых.

[amon]

George M в сообщении #1546916 писал(а):

Мои размышления заключаются в следующем: траекторию необходимо искать в каждом из материалов независимо. После чего накладывать условие непрерывности луча и искать наилучшую точку пересечения границы раздела.

В. И Смирнов "Курс высшей математики" т.4 часть 1 стр. 267 (изд. 1974 года) (Разрывные решения) Вам в помощь.