Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

Смотрите‚ какая мысля пришла ко мне в голову в связи с этим всем. Из-за того‚ что здесь широкие формулы не входят‚ я покажу это не на определителях общего вида‚ а на частном случае этого общего вида. Хотя все показанное мной дословно переносится на общий случай. Показывать я буду на определителях четвертого порядка.
Утверждение 1. Выражение $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}$ делится на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
Для доказательства этого утверждения я докажу‚что если среди значений элементов‚ входящих во все определители выражения‚ значения элементов определителя $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ таковы‚ что обращают его в 0‚ то при этих значения элементов определителей выражения выражение тоже обращается в 0. Итак‚ пусть $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=0$. Это значит‚ что‚ по крайней мере 1 столбец выражается через остальные. Пусть это будет второй: $\left\{ \begin{alignedat}{3}a_{11}t_{1} & + & a_{13}t_{3} & = & a_{12}\\ a_{21}t_{1} & + & a_{23}t_{3} & = & a_{22}\\ a_{31}t_{1} & + & a_{33}t_{3} & = & a_{32} \end{alignedat} \right.$

(Оффтоп)

Да‚ можно было бы это все провернуть через базис системы столбцов‚ но‚ чтобы для этого не вводить в рассмотрении новых объектов‚ я сделаю‚ как будет показано ниже. Скажу еще‚ что‚ если бы я это делал через базис системы столбцов‚ основная мысль‚ которую я хотел показать‚ осталось бы в точности той же самой.

C учетом написанной мной системы равенств исходное выражение преобразовывается следующим образом: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{3\, p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{3\, p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42}-a_{41}t_{1}-a_{43}t_{3} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{3\, p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2}-a_{q\,1}t_{1}-a_{q\,3}t_{3} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{3\, p}\\ a_{4\,1} & a_{42}-a_{41}t_{1}-a_{43}t_{3} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2}-a_{q\,1}t_{1}-a_{q\,3}t_{3} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$
$(-1)^{4+2}(a_{42}-a_{41}t_{1}-a_{43}t_{3})\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \end{vmatrix}\cdot(-1)^{4+2}(a_{q\,2}-a_{q\,1}t_{1}-a_{q\,3}t_{3})\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{33} & a_{3\, p} \end{vmatrix}-$ $(-1)^{4+2}(a_{42}-a_{41}t_{1}-a_{43}t_{3})\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{23} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{33} & a_{3\, p} \end{vmatrix}\cdot(-1)^{4+2}(a_{q\,2}-a_{q\,1}t_{1}-a_{q\,3}t_{3})\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \end{vmatrix}=0$.
Точно такими же в принципиальном плане соображениями‚ только с применением измененной под соответствующее число равенств системы можно доказать‚ что выражение из утверждения 1 делится и на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{3\, p}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{4\, p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} & a_{q\, p} \end{vmatrix}$ : пусть $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{3\, p}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{4\, p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} & a_{q\, p} \end{vmatrix}=0$. Допустим‚ что‚ например‚ $\left\{ \begin{alignedat}{3}a_{11}t_{1} & + & a_{13}t_{3} & = & a_{12}\\ a_{21}t_{1} & + & a_{23}t_{3} & = & a_{22}\\ a_{31}t_{1} & + & a_{33}t_{3} & = & a_{32}\\ a_{41}t_{1} & + & a_{43}t_{3} & = & a_{42}\\ a_{q\,1}t_{1} & + & a_{q\,3}t_{3} & = & a_{q\,2} \end{alignedat} \right.$. Тогда $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{41}t_{1}+a_{43}t_{3} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{11}t_{1}+a_{13}t_{3} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{21}t_{1}+a_{23}t_{3} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{31}t_{1}+a_{33}t_{3} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{41}t_{1}+a_{43}t_{3} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & 0 & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & 0 & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & 0 & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}=$0. На мой взгляд‚ внимания эта мысль уже заслуживает не столько тем‚ что позволяет доказать делимость конкретного выражения (с определителями) на конкретный определитель‚ сколько тем‚ что аналогичные рассуждения могут быть применены для доказательства делимости другого‚ быть может‚ даже не содержащего ни одного определителя‚ выражения‚ на какой-нибудь определитель.

[Sinoid]

Так, ну. то, что нет никаких отзывов на мой последний пост, дает основание мне думать, что такой метод можно использовать для доказательства, хотя, конечно, хотелось бы услышать замечания, критику, если есть для этого основания. Но я пойду дальше.

-- 15.01.2022, 17:31 --

Проверьте‚ пожалуйста‚ решение нескольких задач. Что-то не сходится с ответом довольно много задач.

Задача 8.1‚ а). Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений‚ используя метод Гаусса: $\left\{ \begin{alignedat}{5}5x_{1} & + & 3x_{2} & + & 5x_{3} & + & 12x_{4} & = & 10\\ 2x_{1} & + & 2x_{2} & + & 3x_{3} & + & 5x_{4} & = & 4\\ x_{1} & + & 7x_{2} & + & 9x_{3} & + & 4x_{4} & = & 2 \end{alignedat} \right.$
Что у меня не получилось в этой задаче? В ответе приведено следующее общее решение: $x_{3}=\dfrac{x_{1}-9x_{2}-2}{11}‚\,x_4=\dfrac{-5x_{1}+x_{2}+10}{11}$.

(Оффтоп)

не пойму, откуда берется 0 перед$x_4$.

Тут у меня получилось с точностью до слагаемых то же самое. Проблема не в этом‚ а в частном решении‚ там оно приведено такое: $(0,\,1,\,-1,\,0)$. Но ведь при $x_{1}=0,\, x_{2}=1$ $x_{4}$ будет $x_{4}=\dfrac{-5\cdot0+1+10}{11}=1$‚ а не 0‚ как сказано в ответе. $x_{3}$ же вычислено верно: $x_{3}=\dfrac{0-9\cdot1-2}{11}=-1$. И‚ действительно‚ подставляя частное решение из ответа‚ например‚ в первое уравнение системы‚ видим; что оно ему не удовлетворяет: $5\cdot0+3\cdot1+5\cdot(-1)+12\cdot0=-2\ne10$. Найденное же мной решение удовлетворяет системе: $\left\{ \begin{alignedat}5\cdot0 & + & 3\cdot1 & + & 5\cdot(-1) & + & 12\cdot1 & = & 10\\ 2\cdot0 & + & 2\cdot1 & + & 3\cdot(-1) & + & 5\cdot1 & = & 4\\ 0 & + & 7\cdot1 & + & 9\cdot(-1) & + & 4\cdot1 & = & 2 \end{alignedat} \right.$.
Скажите‚ пожалуйста‚ это у меня где-то косяк или действительно опечатка в ответе?

[Pphantom]

Sinoid в сообщении #1546174 писал(а):

Так, ну. то, что нет никаких отзывов на мой последний пост, дает основание мне думать, что такой метод можно использовать для доказательства

Зря. Причина уже была изложена:

lel0lel в сообщении #1541738 писал(а):

Енто нечитаемо.

P.S. Не исключено, что в самом деле можно, но с 99% вероятностью это никто даже не пытался проверять. Вы бы все-таки учитывали, что это форум, и в выкладках подобного вида и объема будут разбираться только если задача чем-то действительно интересна, иначе их пролистают, не читая.

[Sinoid]

Pphantom в сообщении #1546177 писал(а):

Причина уже была изложена: lel0lel в сообщении #1541738

писал(а):
Енто нечитаемо.

Так а моя вина в этом есть?

-- 15.01.2022, 17:49 --

Pphantom в сообщении #1546177 писал(а):

Вы бы все-таки учитывали, что это форум, и в выкладках подобного вида и объема будут разбираться только если задача чем-то действительно интересна, иначе их пролистают, не читая.

А мне с кем тогда это все обсуждать? У меня больше нет выхода на людей, разбирающихся в этом.

-- 15.01.2022, 17:54 --

Так а как енто в конце-концов сделать читаемым-то? Я написал в общем случае, как это требуется в алгебре - нечитаемо, написал в частном - тоже нечитаемо.

[TOTAL]

Sinoid в сообщении #1542918 писал(а):

Утверждение 1. Выражение $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}$ делится на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.

Это выражение равно нулю. Поэтому делится на всё подряд (разве что не на ноль)

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1546174 писал(а):

Проблема не в этом‚ а в частном решении‚ там оно приведено такое: $(0,\,1,\,-1,\,0)$.

Там опечатка. Последнее число в векторе - единица. Да, в задачниках бывают опечатки.

Sinoid в сообщении #1546174 писал(а):

Найденное же мной решение удовлетворяет системе:

Я бы этим удовлетворился.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1546200 писал(а):

Я бы этим удовлетворился.

Так и меня это вполне удовлетворяет. Я просто не знал, правильно или нет я нашел то, что нашел.

-- 16.01.2022, 14:33 --

TOTAL в сообщении #1546199 писал(а):

Sinoid в сообщении #1542918

писал(а):
Утверждение 1. Выражение $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}$ делится на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.

Это выражение равно нулю. Поэтому делится на всё подряд (разве что не на ноль)

TOTAL, вы имеете ввиду то, что выражение $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}$ тождественно равно 0?

-- 16.01.2022, 14:41 --

Всем большое спасибо за участие в диалоге.

[TOTAL]

Sinoid в сообщении #1546235 писал(а):

TOTAL, вы имеете ввиду то, что выражение ... тождественно равно 0?

Да, равно нулю.

[Sinoid]

TOTAL
так оно ни разу не равно 0. Оно в силу

lel0lel в сообщении #1540690 писал(а):

Desnanot–Jacobi identity.

просто равно произведению тех определителей, делимость на каждый из которых я доказывал вот здесь:

Sinoid в сообщении #1542918 писал(а):

......
Утверждение 1. Выражение $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\, p} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3p}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\, p} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} \end{vmatrix}$ делится на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$.
......Точно такими же в принципиальном плане соображениями‚ только с применением измененной под соответствующее число равенств системы можно доказать‚ что выражение из утверждения 1 делится и на определитель $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{1\, p}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{2\, p}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{3\, p}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{4\, p}\\ a_{q\,1} & a_{q\,2} & a_{q\,3} & a_{q\,4} & a_{q\, p} \end{vmatrix}$ : .........................

А почему вы решили, что это выражение тождественный 0?

[TOTAL]

Sinoid в сообщении #1546238 писал(а):

А почему вы решили, что это выражение тождественный 0?

Я считал, что величины $p,q$ равны $1,2,3$ или $4$. Это не так?

[Sinoid]

TOTAL в сообщении #1546240 писал(а):

Это не так?

Конечно, нет. Я это уже оговаривал вот здесь;

Sinoid в сообщении #1540717 писал(а):

Там из дальнейших построений будет видно, что $i,\,j>n$.

В данном случае эти рассуждения проводятся для $p,\,q>4$. В Случае же

TOTAL в сообщении #1546240 писал(а):

величины $p,q$ равны $1,2,3$ или $4$

и обсуждать нечего: тут все видно невооруженным глазом.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1546241 писал(а):

Конечно, нет.

В смысле, это необязательно так. Да, это может иметь место быть. Тогда

Sinoid в сообщении #1546241 писал(а):

и обсуждать нечего: тут все видно невооруженным глазом.

Но этого может и не иметь место быть. И именно из-за возможности этого варианта мне и потребовалось такое доказательство, остающееся в силе и тогда, когда это имеет место быть.

[Sinoid]

Проверьте, пожалуйста, решение задачи 8.2, б):
Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра $\lambda$:
$\left\{ \begin{alignedat}{5}-6x_{1} & + & 8x_{2} & - & 5x_{3} & - & x_{4} & = & 9\\ -2x_{1} & + & 4x_{2} & + & 7x_{3} & + & 3x_{4} & = & 1\\ -3x_{1} & + & 5x_{2} & + & 4x_{3} & + & 2x_{4} & = & 3\\ -3x_{1} & + & 7x_{2} & + & 17x_{3} & + & 7x_{4} & = & \lambda \end{alignedat} \right.$
Решение. $\left(\begin{array}{cccc|c} -6 & 8 & -5 & -1 & 9\\ -2 & 4 & 7 & 3 & 1\\ -3 & 5 & 4 & 2 & 3\\ -3 & 7 & 17 & 7 & \lambda \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} -6 & 8 & -5 & -1 & 9\\ -20 & 28 & -8 & 0 & 28\\ -15 & 21 & -6 & 0 & 21\\ -45 & 63 & -18 & 0 & \lambda+63 \end{array}\right)\sim\left(-\begin{array}{cccc|c} -6 & 8 & -5 & -1 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -5 & 7 & -2 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right)$. Получаем следующую систему, эквивалентную данной: $\left\{ \begin{alignedat}{5}-6x_{1} & + & 8x_{2} & - & 5x_{3} & - & x_{4} & = & 9\\ -5x_{1} & + & 7x_{2} & - & 2x_{3} & & & = & 7\\ 0x_{1} & + & 0x_{2} & + & 0x_{3} & + & 0x_{4} & = & \lambda \end{alignedat} \right.$. Последняя система имеет решение только при $\lambda=0$. Тогда получаем: $\left(\begin{array}{cccc|c} -6 & 8 & -5 & -1 & 9\\ -5 & 7 & -2 & 0 & 7 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} -5 & 7 & -2 & 0 & 7\\ 0 & -0,4 & -2,6 & -1 & 0,6 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} -5 & 7 & -2 & 0 & 7\\ 0 & 2 & 13 & 5 & -3 \end{array}\right)$. Получаем следующую систему уравнений, также эквивалентную исходной: $\left\{ \begin{alignedat}{5}-5x_{1} & + & 7x_{2} & - & 2x_{3} & & & = & 7\\ & & 2x_{2} & + & 13x_{3} & + & 5x_{4} & = & -3 \end{alignedat} \right.$, откуда $x_{2}=\dfrac{-3-13x_{3}-5x_{4}}{2}$. В ответе же написано, что $x_{2}=-\dfrac{1}{2}(3+13x_{1}+5x_{4})$. Скажите, пожалуйста, это у кого ошибка: у меня или в учебнике?

[Sinoid]

В букве г) то же задание для следующей системы: $\left\{ \begin{alignedat}{5}2x_{1} & - & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & 5\\ 4x_{1} & - & 2x_{2} & + & 5x_{3} & + & 6x_{4} & = & 7\\ 6x_{1} & - & 3x_{2} & + & 7x_{3} & + & 8x_{4} & = & 9\\ \lambda x_{1} & - & 4x_{2} & + & 9x_{3} & + & 10x_{4} & = & 11 \end{alignedat} \right.$
Решение. $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 & 5\\ 4 & -2 & 5 & 6 & 7\\ 6 & -3 & 7 & 8 & 9\\ \lambda & -4 & 9 & 10 & 11 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & -4 & -6\\ \lambda & -4 & 9 & 10 & 11 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \lambda & -4 & 9 & 10 & 11 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \lambda-8 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ Получаем следующую систему, равносильную/эквивалентную данной: $\left\{ \begin{alignedat}{4}2x_{1} & -x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & 5\\ & & & x_{3} & + & 2x_{4} & = & 3\\ (\lambda-8)x_{1} & & & & & & = & 0 \end{alignedat} \right.$. Здесь при $\lambda\ne 8$ получается $x_{1}=0$‚ но в ответе значение этого неизвестного вообще почему-то не указано:
Скажите, пожалуйста, это у меня очередной заскок или я что-то неправильно понимаю?

[vpb]

Sinoid в сообщении #1546289 писал(а):

Скажите, пожалуйста, это у кого ошибка: у меня или в учебнике?

В задачнике опечатка (у $x_3$ индекс перепутали, получился $x_1$). Это, кстати, можно было сразу сообразить, что там что-то не то, потому что по их ответу $x_1$ получается непонятно, то ли свободная переменная, то ли главная.