Пусть спрашивающему нужно получить эквивалентность типа
Так не пишут. Это, конечно, правда (при

), но с тем же успехом правда и

или

. По опр. эквивалентных функций, эквивалентность бережет только первый член разложения, главный член асимптотики.
Поэтому первая эквивалентность здесь, хоть и верна (как и вторая, и третья), но несет в себе ровно столько информации, сколько

.
То есть столько, сколько формула Тейлора с точностью до первого члена разложения.
Если же в решении задачи нужно больше членов разложения, то эквивалентностей не хватит, и нужно будет использовать или саму формулу Тейлора, или что-то еще.
Надо ли обязательно для обоснования законности таких эквивалентностей привлекать правила обращения с о-малыми (или большими)?
Нет, обязательно не надо. Например, Ваш второй пример решается без о малых.
Потом, эквивалентности (в отличие от формулы Тейлора) - это не только степени, это что угодно. Например, степенной функции, которой эквивалентна

не найдется. А главный член можно выделить легко.
И вот, например, упражнение 6.5.1.в из это книги. Найти предел

. И как он должен
Как до этого авторы в параграфе оформляли. Они не используют формул Тейлора, про эквивалентность говорят неявно, а вот ряды Тейлора фигурируют у них вовсю, и каждая функция полностью раскладывается в ряд в окрестности нужной точки.