Помогите разобраться с заблуждениями (операции с о-малыми)

[zykov]

wxMaxima:

Используется синтаксис Matlab M

taylor(1-x^2*exp(x)/(exp(x)-1)^2, x, 0, 16);

$$\frac{{{x}^{2}}}{12}-\frac{{{x}^{4}}}{240}+\frac{{{x}^{6}}}{6048}-\frac{{{x}^{8}}}{172800}+\frac{{{x}^{10}}}{5322240}-\frac{691 {{x}^{12}}}{118879488000}+\frac{{{x}^{14}}}{5748019200}-\frac{3617 {{x}^{16}}}{711374856192000}+\mbox{...}$$

[mihiv]

По-моему с $o$-малыми получается проще.
Числитель: $x^2(1+x+\dfrac {x^2}2+o(x^2))$.
Знаменатель:$x^2(1+\dfrac x2+\dfrac {x^2}6+o(x^2))^2=x^2(1+x+\dfrac {x^2}3+\dfrac {x^2}4+o(x^2))$
Так что нужно вычислить: $1-\dfrac {1+x+\dfrac {x^2}2+o(x^2)}{1+x+\dfrac {7x^2}{12}+o(x^2)}$
Приводим к общему знаменателю и вычитаем: $\dfrac {\dfrac {x^2}{12}+o(x^2)}{1+x+\dfrac {7x^2}{12}+o(x^2)}=\dfrac {x^2}{12}+o(x^2)$

[xagiwo]

zykov в сообщении #1544223 писал(а):

wxMaxima

Прекрасный педагогический приём, я восхищён!

[Lia]

мат-ламер в сообщении #1544211 писал(а):

Поэтому позицию преподавателя я не берусь судить или оправдывать. Ему на месте виднее.

Давайте я возьмусь.
Потому что нечем мне это оправдывать:

мат-ламер в сообщении #1544175 писал(а):

Вот пример. Пусть нам надо найти первые три ненулевых члена разложения функции $f(x)= \sin \sin x$ в ряд Тейлора в нуле. Можно, конечно, разложить синус в ряд и подставить полученное разложение в разложение синуса. (Кстати, в задачнике Виноградовой и др. подстановка синуса в синус применяется, правда для другой задачи). Но тут возникает необходимость суммировать члены и у студентов возникали ошибки. В данном случае разложение можно считать и через производные. Так по мысли того преподавателя, правильно будет считать именно через производные.

И в результате запрета получается черт-те что. А если понадобится до седьмого члена? А если нужно будет разложение до 10 степени в окрестности нуля

$$f(x) =\dfrac{\sin x}{x}-e^{x^2}$$

которое легко вычисляется по формуле Тейлора с помощью стандартных разложений, но требует как раз вычитаний о малых? Ну попробуйте посчитать производные. Не знаю, меня не радует, да и не делается это так.
Еще есть задача - например, для этой функции найти производную $f^{(1000)}(0)$. Можете посчитать это вручную. Если получится. Но обычно на первом курсе учат такие задачи решать как раз используя формулу Тейлора.

[Markus228]

xagiwo в сообщении #1544216 писал(а):

что такое $o(x)$?

В обозначениях мат-ламер это $o_1(x)$

[xagiwo]

Markus228 я прошу Вас дать определение этого понятия, причём здесь обозначения ТС?

[Markus228]

xagiwo
Потому что $o_1(x)$ это обозначение ТС для $o(x)$
Если переписать в человеческом виде, будет
$(3x+o(x))-(2x+o(x^2))=x+o(x)$
собственно, я это и имел ввиду

[xagiwo]

Markus228 там нет $o(x^2)$, везде $o(x)$. А Вы, видимо, имели ввиду, что при сложении $o$-шек следует брать наибольшую (если такая есть)? Тогда Ваша придирка понятна, хотя и бессмысленна. Не важно, где ставить индексы, если они убираются без потери смысла. А ТС, видимо, их поставил, чтобы показать, что хотя всё суть $o(x)$, эти $o(x)$ это три разные функции.

[Markus228]

xagiwo в сообщении #1544255 писал(а):

А Вы, видимо, имели ввиду, что при сложении $o$-шек следует брать наибольшую (если такая есть)? Тогда Ваша придирка понятна, хотя и бессмысленна.

Да, верно

xagiwo в сообщении #1544255 писал(а):

Не важно, где ставить индексы, если они убираются без потери смысла. А ТС, видимо, их поставил, чтобы показать, что хотя всё суть $o(x)$, эти $o(x)$ это три разные функции.

А, вот оно что Тогда такое обозначение меня ввело в заблуждение, потому что так не пишут)

Someone в сообщении #1544187 писал(а):

Вообще, так даже и не пишут, потому что $o(x)$ означает не конкретную функцию, а оценку сверху порядка малости погрешности. Поэтому пишут $(3x+o(x))-(2x+o(x))=x+o(x)$.

-- 26.12.2021, 02:41 --

xagiwo в сообщении #1544255 писал(а):

А Вы, видимо, имели ввиду, что при сложении $o$-шек следует брать наибольшую (если такая есть)?

Хотя тут возникает небольшой вопросец - допустим если у нас функция раскладывается в нуле как $f(x)=4+x^2+x^3+...$, то мы можем записать $f(x)=5+o(x^2)$, но в то же время $f(x)=5+o(x)$, т.е. это нормально?

[Pphantom]

Markus228 в сообщении #1544256 писал(а):

если у нас функция раскладывается в нуле как $f(x)=4+x^2+x^3+...$, то мы можем записать $f(x)=5+o(x^2)$,

Вообще-то не можем.

Но в целом ответ на вопрос - да. Если остаток в окрестности нуля представим как $o(x^2)$, то он же представим и как $o(x)$. Именно потому, что это не функции, а классы функций, один из которых является подмножеством другого.

[zykov]

Определитесь - тут либо 4, либо 5.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1544211 писал(а):

Вот есть у нас конкретная функция, с которой пришёл топик-стартер в соседней теме $f(x)= 1-\frac {x^2e^x}{(e^x-1)^2}$ . И нужно найти первые три ненулевых члена ряда Тейлора в нуле. Каким образом организовать вычисления, чтобы минимизировать вероятность ошибки? И имеем в виду, что вычисления будет проводить не математик. (Понятно, что для математиков задача нетрудная).

Я тут писал, что подстановка в эту функцию разложения для экспоненты, не самый простой способ решения этой задачи. Я так думаю, что наиболее простой метод здесь будет метод неопределённых коэффициентов. Нам надо найти всего три коэффициента - при $x^2$ , при $x^4$ и при $x^6$ . Сначала находим коэффициент при $x^2$ . Для начала разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора. В знаменателе необязательно ряд возводить в квадрат. Производные там ищутся очень легко. Сокращая на $x^2$ , получаем $\frac{(e^x-1)^2}{x^2}=1+x+7x^2 \slash 12 +o(x^2)$ . Как раскладывается экспонента в числителе, писать не буду. В итоге для определения нашего коэффициента получаем уравнение: $ 1+x+\frac{ x^2 }{ 2 }+o(x^2) =\left[ 1+ \alpha x^2 +o(x^3) \right] \left[ 1+x+\frac{ 7 }{ 12 } x^2+o(x^2) \right] $ . Приравнивая коэффициенты при $x^2$ , получаем простое уравнение. Решаем его. Получаем $\alpha = -1 \slash 12$ . Дальше точно таким образом находим коэффициенты при $x^4$ и при $x^6$ . Вычисления там будут чуть посложнее, но ненамного.

[мат-ламер]

При ближайшем рассмотрении оказалось, что обыкновенное деление столбиком ни чуть не хуже. Сначала мне показалось, что метод неопределённых коэффициентов будет выгоднее, поскольку у нас некоторые коэффициенты разложения нулевые. Однако, при делении столбиком при этом просто сокращается количество строк в "столбике". Кроме того, делить можно не полностью, а лишь до определённых степеней.

[мат-ламер]

Lia в сообщении #1544236 писал(а):

И в результате запрета получается черт-те что. А если понадобится до седьмого члена? А если нужно будет разложение до 10 степени в окрестности нуля

$$f(x) =\dfrac{\sin x}{x}-e^{x^2}$$

которое легко вычисляется по формуле Тейлора с помощью стандартных разложений, но требует как раз вычитаний о малых? Ну попробуйте посчитать производные. Не знаю, меня не радует, да и не делается это так.

Посмотрел примерный учебник по "высшей математике", рассчитанный на инженеров (авторы Бугров и Никольский). Это примерно то, что знает средний студент-технарь, не математик и не физик, и не студент топового ВУЗа (типа Бауманки). В принципе, что такое о-малое, там определено. Но не более. Про действия над выражениями с такими величинами ничего не говорится. И я допускаю, что этот средний студент вполне может допустить ошибку типа $o(x)-o(x)=0$ . Как же можно такого студента научить решать такие задачи? В данном случае можно заметить, что разложение Тейлора разности двух функций есть разность разложений первой и второй функции. Никакого вычитания о-малых тут не происходит.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1544478 писал(а):

И я допускаю, что этот средний студент вполне может допустить ошибку типа $o(x)-o(x)=0$ . Как же можно такого студента научить решать такие задачи?

Такого студента не надо учить решать такие задачи до тех пор, пока он не перестанет допускать ошибку $o(x)-o(x)=0$.