Найти главную часть функции

[TherionRider]

Всем здравствуйте. Хотелось бы узнать свои ошибки, но и желательно ответ от данной задачи.
$\cos x-\sqrt[3]\cos x$ , $x_0 = 0$
У меня в итоге преобразований получилось так
$1-\cos x + \sqrt[3]\cos x - 1$
И, используя таблицу эквивалентности, наверное сделал сильную глупость, получил вот такое
$x^2/2 + x^{2/3}/2$
Ну и естественно, я посчитал, что главная часть это
$x^{2/3}/2$
Сдав на проверку, мне не зачли, потом я сам понял, что сделал глупость при эквивалентности нашего косинуса в котором степень 2/3. Хотелось бы узнать, каково будет ваше решение данной задачи. Спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- картинку уберите и наберите содержимое (нужное),
- (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 28.12.2021, 18:43 --

TherionRider, дайте пожалуйста, определение "главной части функции".

[TherionRider]

Главная часть функции это самая меньшая эквивалентная функция. Т.е. функция, которая показывает приблизительно такой же график в окрестности точки, которую мы ищем.

[Pphantom]

В каком смысле "самая меньшая"? И каким образом - "используя таблицу эквивалентности" - вы переделали $\sqrt[3]{\cos x}-1$ в $x^{2/3}/2$?

[TherionRider]

Поэтому я и написал, что сделал глупость при эквивалентности с косинусом 1/3. Я посчитал, что если возьму в $-1 (1-\sqrt[3]\cos x)$ То оригинальная эквивалентность $x^2/2$ станет $x^{2/3}/2^{2/3}$, но теперь я понимаю, что совершил глупость при использовании эквивалентности, и я не знаю, как мне именно этот косинус преобразовать. Я пытался в начале и выносить за скобку якобы общий множитель $\sqrt[3]\cos x$, но естественно это уже были бессмысленные потуги.
А по поводу самая меньшая, мы ведь, когда ищем главную часть функции, у нас в конце после преобразований $x^2 + x^3 + x^4$ (представим, что это конечные преобразования какой-то функции к примеру) и т.д. Мы ведь пишем, что главная часть $x^2$. Я решил написать, что самую меньшую.

-- 28.12.2021, 19:19 --

Да, я не забываю, что если функция б.м. или б.б. То главная часть будет иметь разные виды, их существует несколько, но основа заключается в $Cx^k$, дальше как пойдет. Меня сейчас просто интересует, как преобразовать именно сам косинус в 1/3 степени, в этом вся проблема.

[Pphantom]

Ну тогда давайте начнем с такой задачи: что вы будете делать с функцией вида $\sqrt[3]{1+x}$ при $x_0=0$?

[TherionRider]

Использую таблицу эквивалентности) Замечаю, что есть формула где $(1+x)^m-1$, попытаюсь преобразовать нашу функцию к такому в виду, добавив +1 и -1
$(1+x)^{1/3}+1-1$ теперь можно написать $(1+x)(1/3)+1$ скобки раскрываю и выделяю главную часть $(1/3) = C , k = 1 , x/3$

[zykov]

Попрбуйте в два шага.
Сначала разложить $(1-y)-\sqrt[3]{1-y}$, а потом подставить разложение $y=1-\cos x$.

[Pphantom]

TherionRider в сообщении #1544574 писал(а):

Использую таблицу эквивалентности) Замечаю, что есть формула где $(1+x)^m-1$, попытаюсь преобразовать нашу функцию к такому в виду, добавив +1 и -1
$(1+x)^{1/3}+1-1$ теперь можно написать $(1+x)(1/3)+1$ скобки раскрываю и выделяю главную часть $(1/3) = C , k = 1 , x/3$

Проблема в том, что либо вы используете обозначения, понятные только вам, либо пишете что-то не то. Результат напишите.

[TherionRider]

Если требуется найти главную часть, то ответ $x/3$

-- 28.12.2021, 22:28 --

А вот во втором примере от "zykov" я не понял, что имеется в виду под словом "разложить"?

[Pphantom]

TherionRider в сообщении #1544584 писал(а):

Если требуется найти главную часть, то ответ $x/3$

Ура. Теперь обозначьте как-нибудь $\cos x - 1$ и примените уже имеющийся результат к кубическому корню из косинуса. Что получится?

[TherionRider]

Если при этом заменить оба косинуса, то $t+1-\sqrt[3](t+1)$

[Pphantom]

TherionRider в сообщении #1544587 писал(а):

Если при этом заменить оба косинуса, то $t+1-\sqrt[3](t+1)$

И откуда тут возник корень?

[TherionRider]

Как откуда? У нас ведь в уравнение обычный косинус и косинус в кубическом корне. При добавлении замены, у меня получилось то уравнение. Ведь я сделал вот такое преобразование $\cos x +1-1-\sqrt[3](\cos x +1 -1)$ Делая замену через $t = \cos x - 1$ , получается, то уравнение $t+1-\sqrt[3](t+1)$