Помогите разобраться с заблуждениями (операции с о-малыми)

[zykov]

Mikhail_K в сообщении #1544510 писал(а):

Ну Вы просто не знаете / не помните, что такое О-большое.

Да, ошибся.
Почему-то думал, что O-большое обязывает ограничить и сверху, и снизу, а оно только сверху.

[mihaild]

zykov в сообщении #1544515 писал(а):

Почему-то думал, что O-большое обязывает ограничить и сверху, и снизу, а оно только сверху

И сверху и снизу - это $\Theta$. И их тоже можно складывать (если всё имеет один знак).

[Lia]

мат-ламер в сообщении #1544478 писал(а):

В данном случае можно заметить, что разложение Тейлора разности двух функций есть разность разложений первой и второй функции. Никакого вычитания о-малых тут не происходит.

А это потому что Вы стабильно путаете разложение в ряд Тейлора и использование формулы Тейлора. Равенство функции своему ряду Тейлора - это вообще жестокая жесть :) и бывает редко. Тут оно есть, да. Написать, когда нет, или когда Вы не сможете посчитать?

[мат-ламер]

Lia в сообщении #1544527 писал(а):

А это потому что Вы стабильно путаете разложение в ряд Тейлора

Не сразу понял смысл написанного вами. Дело в том, что я ни разу в этой теме не употреблял слово "ряд" и ни разу про него не думал. Когда написал слова "разложение Тейлора", то я подумал, что из контекста можно догадаться, что я имел в виду формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (название темы намекает, что речь идёт об использовании о-малых). То есть функция $f(x)$ раскладывается на конечное число частей $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+o((x-x_0)^n)$ . Если бы я в своём предложении

мат-ламер в сообщении #1544478 писал(а):

разложение Тейлора разности двух функций есть разность разложений первой и второй функции.

попробовал заменить слово "разложение" на слово "формула", то получилась бы бессмыслица. А как сформулировать коротко и точно, я в момент написания сообщения не сообразил.

Если слово "разложение Тейлора" означает именно разложение в бесконечный ряд Тейлора, то прошу намекнуть, чтобы я в дальнейшем не писал ерунды. И можно ли говорить о "разложении Тейлора" с конечным числом членов?

-- Вт дек 28, 2021 12:02:12 --

мат-ламер в сообщении #1544545 писал(а):

И можно ли говорить о "разложении Тейлора" с конечным числом членов?

Пункт 124 в Курсе Фихтенгольца: "Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано". Речь идёт о конечном разложении.

[Aritaborian]

lel0lel в сообщении #1544511 писал(а):

Кстати, в некоторых матпакетах нотации о-малое нет, пример Wolfram.

Что-то такое есть. Пример:

In[]:= Series[1/(x + 1), {x, 0, 4}]
Out[]= 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + O[x]^5

[nnosipov]

Aritaborian в сообщении #1544555 писал(а):

Что-то такое есть.

Это О-большое. А о-малое также не встречал.

[мат-ламер]

Lia в сообщении #1544173 писал(а):

Обычно внимание студентов акцентируют на том, что нельзя переходить к эквивалентным функциям в разности/сумме.

Интересно, как решится этот вопрос в теме https://dxdy.ru/topic148183.html ?

[Lia]

(Оффтоп)

мат-ламер
Я не поняла, к чему это. Если Вы хотите привлечь мое внимание, то я его Вам сейчас не могу уделить, по банальным причинам. Может, Вам ответит кто-то другой или я, но позже.
В любом случае, с такого рода запросами есть смысл обращаться в ЛС.

[мат-ламер]

Возник у меня методический вопрос. Пусть спрашивающему нужно получить эквивалентность типа $\sqrt[3]{\cos{x} } \sim 1-x^2 \slash 6$ или такую $\ln{\cos{x} } \sim - x^2 \slash 2$ . Формулу Тейлора привлекать не хочется. Надо ли обязательно для обоснования законности таких эквивалентностей привлекать правила обращения с о-малыми (или большими)? Или достаточно сослаться на некие правила обращения с эквивалентностями? Или просто на интуицию?

[Sender]

мат-ламер в сообщении #1544983 писал(а):

Или достаточно сослаться на некие правила обращения с эквивалентностями? Или просто на интуицию?

Я не преподаватель, но, на мой взгляд, так делать нельзя ни в коем случае. o-малые и большие - достаточно удобный и притом математически строгий инструмент, не вижу причин им пренебрегать.

[мат-ламер]

Sender в сообщении #1544984 писал(а):

но, на мой взгляд, так делать нельзя ни в коем случае. o-малые и большие - достаточно удобный и притом математически строгий инструмент, не вижу причин им пренебрегать.

Я согласен с вами в принципе. А в частности есть нюансы. Квалификация спрашивающих на форуме может быть разной. Предположим, что спрашивающий школьник и он читает книгу Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих ..." . Книга рассчитана для школьников и есть мнение, что начинать изучение анализа надо именно с таких книг, а лишь затем переходить к суровым строгим учебникам типа Зорича. В этой книге о-символика не употребляется. Символ $\sim$ и понятие эквивалентных бесконечно малых тоже. Зато в ходу употребление символа $\approx $ . И вот, например, упражнение 6.5.1.в из этой книги. Найти предел $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ \operatorname{tg}{x} -x }{ x^3 }$ . И как он должен оформить решение данного примера тут на форуме, чтобы не вызвать нарекания опытных товарищей? И как ему грамотно оказать помощь?

[xagiwo]

мат-ламер в сообщении #1544986 писал(а):

Зато в ходу употребление символа $\approx $ . И вот, например, упражнение 6.5.1.в

Только что посмотрел, в параграфе 6.5 символ $\approx$ почти не используется (пишется полностью ряд Тейлора со знаком $=$), а там, где он есть, он имеет смысл символа $\sim$

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1544983 писал(а):

Пусть спрашивающему нужно получить эквивалентность типа $\sqrt[3]{\cos{x} } \sim 1-x^2 \slash 6$

Так не пишут. Это, конечно, правда (при $x\to 0$), но с тем же успехом правда и $\cos x \sim 1+x$ или $\cos x \sim 1+x^2$. По опр. эквивалентных функций, эквивалентность бережет только первый член разложения, главный член асимптотики.
Поэтому первая эквивалентность здесь, хоть и верна (как и вторая, и третья), но несет в себе ровно столько информации, сколько $\cos x \sim 1$.
То есть столько, сколько формула Тейлора с точностью до первого члена разложения.
Если же в решении задачи нужно больше членов разложения, то эквивалентностей не хватит, и нужно будет использовать или саму формулу Тейлора, или что-то еще.

мат-ламер в сообщении #1544983 писал(а):

Надо ли обязательно для обоснования законности таких эквивалентностей привлекать правила обращения с о-малыми (или большими)?

Нет, обязательно не надо. Например, Ваш второй пример решается без о малых.

Потом, эквивалентности (в отличие от формулы Тейлора) - это не только степени, это что угодно. Например, степенной функции, которой эквивалентна $\ln(2\ln x), \ x\to\infty$ не найдется. А главный член можно выделить легко.

мат-ламер в сообщении #1544986 писал(а):

И вот, например, упражнение 6.5.1.в из это книги. Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{ \tg x -x }{ x^3 }$ . И как он должен

Как до этого авторы в параграфе оформляли. Они не используют формул Тейлора, про эквивалентность говорят неявно, а вот ряды Тейлора фигурируют у них вовсю, и каждая функция полностью раскладывается в ряд в окрестности нужной точки.

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1544989 писал(а):

Так не пишут

Извиняюсь за глупость. Функция взята из темы https://dxdy.ru/topic148183.html . (Это не значит, что написанное мной можно применить для решения задачи оттуда). Конечно, при вычислении пределов такой "эквивалентностью" пользоваться нельзя. Но наверное можно такой: 1-$\sqrt[3]{\cos{x} } \sim x^2 \slash 6$ .

Когда писал, я имел в виду тему "приближённые вычисления". Пусть нам надо вычислить приближённое значение функции $f(x)=\sqrt[3]{\cos{x} } $ для малых $x$ . Хотя в этой теме правильным бы было использование знака $\approx$ .

Otta в сообщении #1544989 писал(а):

Нет, обязательно не надо. Например, Ваш второй пример решается без о малых.

И тут я не соображу. Можно использовать формулу Тейлора.

мат-ламер в сообщении #1544983 писал(а):

Формулу Тейлора привлекать не хочется.

Можно использовать равенство $\cos x =1 - x^2 \slash 2 +o(x^3) $ . Как ещё можно решить, не подскажете?

Otta в сообщении #1544989 писал(а):

Как до этого авторы в параграфе оформляли. Они не используют формул Тейлора, про эквивалентность говорят неявно, а вот ряды Тейлора фигурируют у них вовсю, и каждая функция полностью раскладывается в ряд в окрестности нужной точки.

Согласен. Но тут есть нюанс. Вот человек заходит на форум. Он же не пишет про себя, что я мол Вася Пупкин, учусь в 10-м классе и дополнительно к Мордковичу читаю Зельдовича. Он начинает писать в своих привычных для него обозначениях. И тут непонятно, школьник он, или студент, ничего не понявший на лекциях.

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1545005 писал(а):

Но тут есть нюанс. Вот человек заходит на форум. Он же не пишет про себя, что я мол Вася Пупкин, учусь в 10-м классе и дополнительно к Мордковичу читаю Зельдовича. Он начинает писать в своих привычных для него обозначениях. И тут непонятно, школьник он, или студент, ничего не понявший на лекциях.

Его спросят.
И спрашивают преимущественно именно потому, что важен бэкграунд - от этого зависит, на каком языке объяснять.
Про косинусы.
Квадрат косинуса хорошо выражается через квадрат синуса. Для которого эквивалентность очень хорошо известна. Попробуйте сперва сами.