Помогите разобраться с заблуждениями (операции с о-малыми)

[мат-ламер]

Вопрос касается операций с о-малыми. Истоки вопроса в теме https://dxdy.ru/topic148361.html . Возможно я там сморозил глупость (или даже не одну). Хотелось бы разобраться в собственных заблуждениях.

Как-то несколько лет назад похожая тема обсуждалась на другом форуме. Очень уважаемый участник того форума рассказал, что он не разрешает своим студентам операции сложения и вычитания с слагаемыми, которые содержат бесконечно малые величины. Написать что-то типа $(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$ означало для него грубейшую ошибку. Я не берусь давать этому оценку. Здесь вопрос касается не математики, а методики её преподавания. Но мне возразили:

Lia в сообщении #1544159 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1544139 писал(а):

Я слышал и такую точку зрения, что складывать и вычитать выражения с бесконечно малыми вообще в корне методически неверно.

Вы не эту точку зрения слышали.

У меня вопрос к Lia . А какую точку зрения я слышал? Или хотя бы поясните вашу мысль подробнее.

Мои интересы лежат в области прикладной математики. И приходилось сталкиваться с ситуациями, когда такие операции приходилось выполнять. В цитируемой теме я рискнул дать совет:

мат-ламер в сообщении #1544029 писал(а):

А вообще вычитать бесконечно малые - дело сильно скользкое. И если можно этого избежать, то лучше избежать.

Последовал комментарий от физика:

Markus228 в сообщении #1544033 писал(а):

Физики постоянно с этим работают

Дискуссия продлилась дальше:

мат-ламер в сообщении #1544139 писал(а):

Но у физиков, как я понимаю, своя точка зрения на то, что можно, а что нельзя.

Geen в сообщении #1544154 писал(а):

Вы неправильно понимаете.

Хотелось бы комментариев от знающих людей (в том числе и от Geen), что именно я неправильно понимаю?

Дальше я затронул тему, а как быть, чтобы минимизировать количество ошибок в подобных операциях? Пример топик-стартера для этого очень подходит. Пусть нам дана функция $f(x)=1 - \frac{ x^2e^x }{ (e^x-1)^2 }$ . И нам надо найти главный член её разложения. В данном случае производные функции легко находятся. Но допустим, у нас на практике функция, для которой это не так. (Более того, на практике часто встречаются случаи, когда речь идёт вовсе не о функциях). Я высказал идею, что раскладывать экспоненту в ряд и засовывать её в нашу функцию, не самая лучшая идея. Да, мы в конце концов получим правильный ответ. Но вероятность получить ошибку будет велика. Может в этом конкретном примере и не очень. Но он тут служит чисто для иллюстрации. И там в цитируемой теме я пытался показать, как лучше справляться с этим примером. Если кратко, то я просто развил свою мысль, что если можно обойтись без сложения (вычитания), то лучше обойтись. А если без него уж никак нельзя, то пусть оно будет на самом раннем этапе вычислений, когда их правильность проще проверить.

Поскольку мне предъявили конкретное и правильное (!) замечание

Lia в сообщении #1544159 писал(а):

Будьте добры, воздержитесь от помощи в темах, которыми не вполне владеете.

с которым я полностью согласен, просьба помочь мне разобраться в моих ошибках. Хотелось бы, чтобы критика была конструктивной.

Возможно я ещё кое-чего не так написал в цитируемой теме. Всего не упомнишь. Прошу извинить.

[Lia]

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

Очень уважаемый участник того форума рассказал, что он не разрешает своим студентам операции сложения и вычитания с слагаемыми, которые содержат бесконечно малые величины. Написать что-то типа $(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$ означало для него грубейшую ошибку.

Равенство это верно, а Ваш тогдашний оппонент неправ.
Обычно внимание студентов акцентируют на том, что нельзя переходить к эквивалентным функциям в разности/сумме. Возможно, у кого-то из Вас произошла путаница с этим случаем, мне трудно сказать, не видя первоисточник.

Поэтому избегать ничего не надо, надо только сохранять о малые и следить за порядком.

-- 25.12.2021, 14:32 --

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

Здесь вопрос касается не математики, а методики её преподавания.

Почему же методики, если речь о математике?

[мат-ламер]

Lia в сообщении #1544173 писал(а):

Ваш тогдашний оппонент неправ.

Я бы не стал тут употреблять такое слово, как "неправ". Тому преподавателю студенты сильно надоели со своими постоянными ошибками. и чтобы их избежать, для решения тех примеров, которые он им подсовывал из задачника, он просто запретил делать им кое-какие действия. Это понятно, что те действия делать можно, если их делать грамотно. Вопрос в другом. Если эти действия запретить, то среднее количество ошибок среди студентов уменьшилось.

Lia в сообщении #1544173 писал(а):

Почему же методики, если речь о математике?

Поэтому это я называю методикой преподавания. Поскольку те действия, о которых идёт речь, с точки зрения математики производить можно. Но возникают вопросы. А нужно ли их делать? А может можно их избежать? А стоит ли стремиться их избежать? И как это сделать? И кое-кто поставил вопрос, а может их стоит запретить делать студентам? Учитывая результативность этой методики, я не берусь называть того преподавателя неправым.

Вот пример. Пусть нам надо найти первые три ненулевых члена разложения функции $f(x)= \sin \sin x$ в ряд Тейлора в нуле. Можно, конечно, разложить синус в ряд и подставить полученное разложение в разложение синуса. (Кстати, в задачнике Виноградовой и др. подстановка синуса в синус применяется, правда для другой задачи). Но тут возникает необходимость суммировать члены и у студентов возникали ошибки. В данном случае разложение можно считать и через производные. Так по мысли того преподавателя, правильно будет считать именно через производные. По моей мысли, не то чтобы правильно, а более надёжно.

Если кто-то захочет повычислять, то $\sin \sin x = x - x^3 \slash 3 +x^5 \slash 10 + o(x^6)$ .

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1544175 писал(а):

Тому преподавателю студенты сильно надоели со своими постоянными ошибками. и чтобы их избежать, для решения тех примеров, которые он им подсовывал из задачника, он просто запретил делать им кое-какие действия. Это понятно, что те действия делать можно, если их делать грамотно. Вопрос в другом. Если эти действия запретить, то среднее количество ошибок среди студентов уменьшилось.

Методика преподавания, объявляющая ошибочными верные утверждения, кажется мне совершенно недопустимой несмотря на благие цели.

[thething]

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

Написать что-то типа $(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$ означало для него грубейшую ошибку.

Ошибка тут возможна только если это равенство неверно истолковать. Ну а как надо -- задача преподавателя. Вообще, есть ощущение, что Вы чего-то из сказанного тем преподавателем, поняли не так. Как-то слабо укладывается в голове безапелляционный запрет выполнения правильных действий. Может, он не математикам всё это рассказывал?

мат-ламер в сообщении #1544175 писал(а):

Если кто-то захочет повычислять, то $\sin \sin x = x - x^3 \slash 3 +x^5 \slash 10 + o(x^6)$ .

Если нужно разложение до какого-то порядка, то можно поднапрячься и сделать через производные. Если же нужны все коэффициенты (пусть в виде закономерности), то придётся именно что подставлять ряд в ряд.

[Lia]

мат-ламер в сообщении #1544175 писал(а):

Учитывая результативность этой методики, я не берусь называть того преподавателя неправым.

Еще раз. Это не методический вопрос. Это математическое утверждение. Когда верное утверждение объявляется неверным и рассуждения названы запретными, то это ошибка, стало быть человек не прав.

мат-ламер в сообщении #1544175 писал(а):

Если кто-то захочет повычислять, то $\sin \sin x = x - x^3 \slash 3 +x^5 \slash 10 + o(x^6)$ .

Лихко.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

Написать что-то типа $(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$ означало для него грубейшую ошибку.

Индексы не нужны, пишите просто $(3x+o(x))-(2x+o(x))=x+o(x)$

[Someone]

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

$(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$

Вообще, так даже и не пишут, потому что $o(x)$ означает не конкретную функцию, а оценку сверху порядка малости погрешности. Поэтому пишут $(3x+o(x))-(2x+o(x))=x+o(x)$.

(Оффтоп)

Пока собирался отправить, TOTAL написал почти то же самое. Но у меня есть ещё маленькое уточнение, поэтому всё-таки отправляю.

[Lia]

TOTAL в сообщении #1544183 писал(а):

Индексы не нужны, пишите просто $(3x+o(x))-(2x+o(x))=x+o(x)$

Да я уж не стала вдаваться. А кстати, очень возможно, что напрасно. Потому что (очень может быть), что протест преподавателя был вызван именно этим, навешиванием индексов на о малые. Любопытно, что как раз в этом есть некий смысл - так студенты его точно не потеряют, типичная ошибка в этом месте это еще и о малые вычесть, после чего их не остается. Но с другой стороны, нельзя же сразу учить неправильно.

В общем, без контекста вряд ли можно восстановить, что именно преподаватель считал неверным. Ссылку, я так понимаю, сейчас найти трудно.

мат-ламер
Лучше все-таки обсуждать конкретные вопросы, наверняка они есть :) Как вспомните - напишите.

[мат-ламер]

Lia в сообщении #1544192 писал(а):

В общем, без контекста вряд ли можно восстановить, что именно преподаватель считал неверным. Ссылку, я так понимаю, сейчас найти трудно.

Приношу извинения. Я найти её попытался. Просмотрел все свои сообщения на том форуме. Их не так много, чтобы их просмотреть за разумное время. Но я той темы не нашёл. Может быть она была удалена как спорная.

Lia в сообщении #1544192 писал(а):

Потому что (очень может быть), что протест преподавателя был вызван именно этим, навешиванием индексов на о малые. Любопытно, что как раз в этом есть некий смысл - так студенты его точно не потеряют, типичная ошибка в этом месте это еще и о малые вычесть, после чего их не остается. Но с другой стороны, нельзя же сразу учить неправильно.

Нет. Протест преподавателя был вызван не этим. Индексы - это просто случайный эпизод в данной теме. Кстати, многократно встречал (но не в учебной литературе) о-малое именно с индексами. Часто (но не всегда) в этом была просто необходимость, поскольку где-то расшифровывалось, что же из себя представляет данная функция. А эпизод на том форуме был вызван ровно тем, что и на этом. Заходит товарищ с примерно такой же функцией и говорит, я мол подставил в эту функцию вместо экспоненты её эквивалентность и получаю ерунду. Ну, ему тут же намекнули, что он неправ. Нашёлся товарищ, который сказал, что при грамотном обращении с бесконечно малыми их можно складывать и вычитать. На что тот товарищ получил возражение от преподавателя, что он своим студентам запрещает сложение и вычитание бесконечно малых. (Возможно он имел в виду эквивалентных бесконечно малых. Но это так долго набирать на клавиатуре) . Тут уже я не выдержал и встрял. И написал, что если грамотно оперировать с о-малыми, то всё путём. За что и получил по шапке.

thething в сообщении #1544178 писал(а):

Может, он не математикам всё это рассказывал?

Безусловно. Не математикам и не физикам. И не в топовом ВУЗе. Допускаю, что средний студент среднего российского ВУЗа (не математик и не физик) достаточно слабо знает правила обращения с о-малыми и с о-большими и с большой вероятностью может допустить ошибку в вычислениях с ними. Поэтому позицию преподавателя я не берусь судить или оправдывать. Ему на месте виднее.

В своё оправдание я замечу, что в цитируемой в первом посте теме я ни разу не касался вопроса, что есть правильно и что есть неправильно с точки зрения математики. Я полагал, что на этот вопрос топик-стартеру сразу дали ответ в первых постах. Я лишь касался вопроса, как методически более грамотно решать подобные задачи, чтобы допустить поменьше ошибок. Особенно, если ты не математик. А топик-стартер в той теме, судя по всему не математик.
Я нигде не говорил, что нельзя делать то-то и то-то. Я говорил, что слышал мнение, что так делать методически неправильно. Лично я это мнение не разделяю. Надо действовать по обстоятельствам. И пока что имею мнение, что если есть возможность простыми средствами избежать сложение и вычитание бесконечно малых, то лучше эти средства использовать. Поскольку человек не компьютер. И вероятность ошибок уменьшается.

Lia в сообщении #1544192 писал(а):

Лучше все-таки обсуждать конкретные вопросы, наверняка они есть :) Как вспомните - напишите.

Конкретные вопросы у меня в первом посту. Спасибо за полученные ответы.

Пока есть вопрос на любителя повычислять. Вот есть у нас конкретная функция, с которой пришёл топик-стартер в соседней теме $f(x)= 1-\frac {x^2e^x}{(e^x-1)^2}$ . И нужно найти первые три ненулевых члена ряда Тейлора в нуле. Каким образом организовать вычисления, чтобы минимизировать вероятность ошибки? И имеем в виду, что вычисления будет проводить не математик. (Понятно, что для математиков задача нетрудная).

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1544211 писал(а):

Каким образом организовать вычисления, чтобы минимизировать вероятность ошибки?

А где тут можно ошибиться? Нет, понятно, что случайные ошибки возможны везде, но поводов для чего-то систематического не видно.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1544211 писал(а):

Каким образом организовать вычисления, чтобы минимизировать вероятность ошибки?

Повесить перед собой бумажку с напоминанием:
Внимание! $o(x)+o(x)$ может равняться $o(x), o(x^2), o(x^3), \dots$

[Markus228]

мат-ламер в сообщении #1544167 писал(а):

$(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_3(x)$

А разве эта запись правильна? Надо же $(3x+o_1(x))-(2x+o_2(x))=x+o_1(x)$

[xagiwo]

Markus228, что такое $o(x)$?

[Nemiroff]

мат-ламер в сообщении #1544211 писал(а):

И нужно найти первые три ненулевых члена ряда Тейлора в нуле.

Прежде всего вы можете заметить, что это чётная функция, так что три ненулевые члена ряда Тейлора -- это почти наверняка члены при степенях нуль, два и четыре. Если вы этого не заметили, то раскладывайте пока раскладывается, куда тут денешься.


Нужно получить $x^4$ -- в числителе уже есть $x^2$, который сокращается или не сокращается со знаменателем.
Знаменатель должен быть с $x^4$ -- замечаем, что $e^x-1$ начинается с линейного члена, так что один $x$ выносится из скобок, а значит возводится в квадрат. А значит $x^2$ в числителе таки сокращается.

Ок, значит числитель нужно раскладывать до упора -- до четвёртой степени, заменяем $e^x$ на $1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24 + o(x^4)$.

В знаменателе после вычитания единицы и вынесения $x$ снова получится $1+\ldots$. Вот это вот $\ldots$ будет возводиться в квадрат, а значит каждый член в скобке будет перемножаться с каждым -- нужно, чтоб была четвёртая степень, значит из-за наличия $1+$ в $\ldots$ должна быть четвёртая степень.

Значит, в знаменателе заменяем $e^x-1 = 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120-1+o(x^5)$.

Возводим знаменатель в квадрат

$$\left(1+x/2+x^2/6+x^3/24+x^4/120+o(x^4)\right)^2 = 1+x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360+o(x^4)$$

Теперь раскладываем знаменатель как $\frac{1}{1+x}$

$$1 - (x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360) + (x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360)^2 - (x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360)^3 + (x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360)^4 + o(x^4)$$

(не влезло, да и чёрт с ним)

Выкидываем лишнее

$$1 - (x+7x^2/12+x^3/4+31x^4/360) + (x+7x^2/12+x^3/4)^2 - (x+7x^2/12)^3 + (x)^4 + o(x^4)$$

Раскрываем, упрощаем

$$1-x+5x^2/12-x^3/12+x^4/240 + o(x^4)$$

Раскрываем скобки с числителем и окончательно получаем ответ

$$\left(1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)\right)\cdot\left(1-x+5x^2/12-x^3/12+x^4/240 + o(x^4)\right) = 1 - x^2/12 + x^4/240 + o(x^4)$$

Последнее можно улучшить до $1 - x^2/12 + x^4/240 + o(x^5)$ вследствие чётности.