Несовпадение результатов при разложении по малому параметру

[reterty]

Имеется функция: $ f(x)=1-\frac{x^2 \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}$. Формальное разложение в ряд Тейлора вблизи $x=0$: $f(x)\approx \frac{x^2}{12}$. Если же использовать приближенную формулу для экспоненты при малых значениях аргумента ($\exp(x)\approx 1+x$), то получим: $ f(x)\approx -x$. Налицо явное различие. В чем подвох-понять не могу.

[nnosipov]

reterty в сообщении #1544009 писал(а):

В чем подвох-понять не могу.

В том, что значок $\approx$ непонятно что значит. Но стоит только уточнить его смысл, и подвоха не станет.

[reterty]

nnosipov в сообщении #1544010 писал(а):

reterty в сообщении #1544009 писал(а):

В чем подвох-понять не могу.

В том, что значок $\approx$ непонятно что значит. Но стоит только уточнить его смысл, и подвоха не станет.

При первом (строгом) подходе (берутся значения производных в нуле) разложение начинается с квдратичного по аргументу слагаемого. При втором (не строгом, несколько искусственном) с линейного члена. Почему же второй не сработал в данном случае?

[Markus228]

reterty в сообщении #1544016 писал(а):

Почему же второй не сработал в данном случае?

Вообще таки сработал

[Geen]

Перепишите формулы так, что бы вместо $\approx$ стояло строгое равенство.

[Markus228]

А нет, первый с рядом Тейлора верный

-- 23.12.2021, 20:18 --

reterty
Вам нужно брать второй порядок в разложении, потому что он даст первый из-за нулевого порядка у множителя в числителе

[TOTAL]

reterty в сообщении #1544009 писал(а):

Имеется функция: $ f(x)=1-\frac{x^2 \exp(x)}{(\exp(x)-1)^2}$.

Вот так легче будет
$ f(x)=\left(1-\frac{x}{e^{x/2}-e^{-x/2}}\right)\left(1+\frac{x}{e^{x/2}-e^{-x/2}}\right)$

[мат-ламер]

Markus228 в сообщении #1544021 писал(а):

Вам нужно брать второй порядок в разложении, потому что он даст первый из-за нулевого порядка у множителя в числителе

Сомневаюсь.

[Markus228]

мат-ламер в сообщении #1544026 писал(а):

Сомневаюсь

Если взять второй порядок у экспоненты, получим нулевой первый порядок у функции

[мат-ламер]

Markus228 в сообщении #1544027 писал(а):

Если взять второй порядок у экспоненты, получим нулевой первый порядок у функции

Правильно. Но устроит ли он нас?

-- Чт дек 23, 2021 20:12:54 --

А вообще вычитать бесконечно малые - дело сильно скользкое. И если можно этого избежать, то лучше избежать.

[zykov]

reterty в сообщении #1544009 писал(а):

В чем подвох-понять не могу.

$$a=\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

$$b=\frac{\exp(x)-1}{x}=\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3))-1}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2)$$

Осталось только степени раскрыть в $1-a b^{-2}$.

[Markus228]

мат-ламер в сообщении #1544029 писал(а):

Правильно. Но устроит ли он нас?

Можно взять и третий порядок, чтобы получить второй как у ТС)

мат-ламер в сообщении #1544029 писал(а):

А вообще вычитать бесконечно малые - дело сильно скользкое. И если можно этого избежать, то лучше избежать.

Физики постоянно с этим работают

[мат-ламер]

Markus228 в сообщении #1544033 писал(а):

Можно взять и третий порядок, чтобы получить второй как у ТС)

Третий вроде подходит. Но где гарантия, что не нужен четвёртый? Разве что для надёжности посчитать и четвёртый? Конкретно этот пример на компьютере в Maple быстро получается.

Markus228 в сообщении #1544033 писал(а):

Физики постоянно с этим работают

Оно понятно. Там надо иметь хорошую интуицию.

[mihiv]

$(\exp (x)-1)^2=x^2(1+x+\dfrac{7x^2}{12}+\dots )$

[Nemiroff]

Если $e^x$ ещё хоть как-то $1+x$, то $(e^x)^2$ уже никак не $(1+x)^2$. Потому что первое это $1+2x+2x^2$, а второе $1+2x+x^2$. И вот вы потеряли коэффициент.