Экстремальные принципы

[sergey zhukov]

Часто можно услышать мнение о том, что экстремальные принципы (вроде принципа наименьшего действия) - это как бы телеологический подход к описанию явлений, т.е. объяснение, исходщее из конечной цели (конечная цель из будущего притягивает и направляет систему в настоящем). Это отличается от подхода, в котором все объясняется действием известных локальных причин из прошлого в каждый момент времени (причины из прошлого выталкивают систему из настоящего состояния куда-то дальше в будущее). Назовем такой подход "шаг за шагом".

Правильно ли я понимаю, что это разграничение - не более, чем иллюзия? Экстремальные принципы на самом деле не обладают никаким телеологическим характером и реализуют точно такой же подход "шаг за шагом"?

Возьмем в пример принцип скорейшего распространения света в неоднородной среде. Часто говорят так: между двумя заданными точками $A$ и $B$ свет распространяется по скорейшему пути. Это звучит весьма удивительно: как свету удалось "узнать" скорейший путь из $A$ в $B$, если он не "проверил" другие пути?
Но если взять на этом пути света промежуточную точку $C$, то окажется, что пути света $AC$ и $CB$ - так же скорейшие из возможных между этими точками. И вообще, любой сколь угодно малый участок его пути является скорейшим между конечными точками этого участка. Так что же на самом деле делает свет? Грубо говоря, он делает скорейший шаг в каждой точке своего пути, "не думая" о том, куда это его заведет и вообще ничего не зная про точку $B$. Скорейший шаг в точке - это локальное свойство этой точки, так что свет прокладывает путь "шаг за шагом" неизвестно куда без всякой цели.

Экстремальные принципы вызывают удивление потому, что они каким-то волшебным образом вроде бы позволяют выбрать оптимальную стратегию достижения цели, ничего не зная об альтернативах. На самом же деле эти принципы учат лишь о том, как делать в каждый момент времени оптимальный шаг сам по себе, причем совершенно неизвестно, куда приведет такой путь. Можно лишь быть уверенным в том, что достигнув любой точки на этом пути, ты не сделал ни одного неверного шага. Кроме самого первого из них. Сделай ты его в другом направлении, возможно, ты мог бы достигнуть этой точки еще более экономным путем. Возможно - нет. Нужно, вообще говоря, проверить все направления выхода из начальной точки, чтобы убедиться, что более экономного пути нет.

Короче, верно ли, что экстремальные принципы - это самые обычные "причны в прошлом, толкающие систему в неизвестное будущее"?

[zykov]

Stationary-action principle: Disputes about possible teleological aspects

[Markus228]

sergey zhukov
Да, все верно

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1543431 писал(а):

Возьмем в пример принцип скорейшего распространения света в неоднородной среде. Часто говорят так: между двумя заданными точками $A$ и $B$ свет распространяется по скорейшему пути. Это звучит весьма удивительно: как свету удалось "узнать" скорейший путь из $A$ в $B$, если он не "проверил" другие пути?

Так проверил же. Вы же наверняка читали Фейнмана:

Цитата:

Когда мы говорили о свете, то обсуждали также вопрос: как все-таки частица находит правильный путь? С дифференциальной точки зрения это понять легко. В каждый момент частица испытывает ускорение и знает только то, что ей положено делать в это мгновение. Но все ваши инстинкты причин и следствий встают на дыбы, когда вы слышите, что частица «решает», какой ей выбрать путь, стремясь к минимуму действия. Уж не «обнюхивает» ли она соседние пути, прикидывая, к чему они приведут — к большему или к меньшему действию? Когда мы на пути света ставили экран так, чтобы фотоны не могли перепробовать все пути, мы выяснили, что они не могут решить, каким путем идти, и получили явление дифракции.
Но верно ли это и для механики? Правда ли, что частица не просто «идет верным путем», а пересматривает все другие мыслимые траектории? И что если, ставя преграды на ее пути, мы не дадим ей заглядывать вперед, то мы получим некий аналог явления дифракции? Самое чудесное во всем этом — то, что все действительно обстоит так. Именно это утверждают законы квантовой механики. Так что наш принцип наименьшего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том, что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально, и способ этого выбора сходен с тем, каким свет отбирает кратчайшее время. Вы помните, что способ, каким свет отбирает кратчайшее время, таков: если свет пойдет по пути, требующему другого времени, то придет он с другой фазой. А полная амплитуда в некоторой точке есть сумма вкладов амплитуд для всех путей, по которым свет может ее достичь. Все те пути, у которых фазы резко различаются, ничего после сложения не дают. Но если вам удалось найти всю последовательность путей, фазы которых почти одинаковы, то мелкие вклады сложатся, и в точке прибытия полная амплитуда получит заметное значение. Важнейшим путем становится тот, возле которого имеется множество близких путей, дающих ту же фазу.

[sergey zhukov]

svv
Да, это читал. Но тут ведь Фейнман говорит уже о том, как этот принцип работает в квантовой механике, и вопрос несколько размывается. Я то имел ввиду даже не волновую, а геометрическую оптику. Вообще, в макромире все, о чем здесь говорит Фейнман, скрывается под определением "локальный" и "дифференциальный". Т.е. это все механизмы, работающие в геометрической оптике "в точке" (я так думаю).

Мне странно следующее. Если траектория системы обладает свойством экстремальности на каждом своем малом участке, т.е. в каждой точке, то это ведь дифференциальное ее свойство. В чем вообще тогда смысл интегральной формулировки? Траектория в целом оптимальна, если оптимален каждый ее шаг? Вроде как из следствия выводится причина, а не наоборот. Может, это просто исторически так сложилось?

Вот, скажем, дифференциальная формулировка одного из уравнений Максвелла $\operatorname{div}(\bar{E})=q$ приводит к интегральной формулировке $\int\limits_{S}^{}( \bar{E}\cdot \bar{n})=\int\limits_{V}^{}q$. Если смотреть только на интегральную формулировку, то может сложиться впечатление, что это только в целом поток электрического поля через поверхность объема равен суммарному заряду внутри него. А, скажем, для разных частей объема в отдельности это может и не выполняться. Конечно, произвольность объема $V$ указывает на то, что это должно выполняться и для всех частей тоже. Но дифференциальная формулировка ведь указывает на это явно.

Мне кажется, интегральная формулировка наводит на мысль, что она способна учитывать и такое: потеряю немного сейчас, чтобы получить больше потом. Т.е. иногда нужно вести себя локально не оптимальным образом, чтобы глобальный результат был оптимален. Будь это так - это действительно было бы удивительно. Но этого то как раз и нет. Экстремальный принцип ведет только по пути шагов, каждый из которых оптимален локально. Может быть и так, что к вашей цели нет пути, который состоял бы из одних оптимальных шагов. Тогда вы туда просто никогда не попадете. Например, если на пути света из $A$ в $B$ поставить перегородку, то скорейший путь из $A$ в $B$ - это ломаная, огибающая край перегородки. Однако свет вообще не пойдет по этому пути, т.к. в точке излома придется сделать один неоптимальный шаг, а это не допускается.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1543477 писал(а):

Я то имел ввиду даже не волновую, а геометрическую оптику.

А какая разница?
Суть все равно в том, что вблизи экстремального пути набег фазы меняется слабо, поэтому интерференция происходит в фазе - основная часть энергии идет по этому пути.
Да и нет четкой грани между волновой и геометрической оптики. Например, линза собирает параллельный пучок в фокусе, а плоское зеркало отражает под углом падению. Однако, если закрасить часть линзы и зеркала черной краской, появятся максимумы в других точках и отражения под другими углами.

sergey zhukov в сообщении #1543477 писал(а):

Если смотреть только на интегральную формулировку, то может сложиться впечатление, что это только в целом поток электрического поля через поверхность объема равен суммарному заряду внутри него. А, скажем, для разных частей объема в отдельности это может и не выполняться.

Ну это если совсем не думать. А если чуть-чуть напрячься, станет очевидно, что точно такие же равенства верны и "для разных частей объема в отдельности".

[sergey zhukov]

DimaM
Вы же не станете отрицать, что интегральная формулировка экстремального принципа, с одной стороны, вводит в заблуждение, а с другой - не дает совершенно ничего нового в сравнении с дифференциальной формулировкой (по крайней мере, в классической механике, например).

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1543522 писал(а):

Вы же не станете отрицать, что интегральная формулировка экстремального принципа, с одной стороны, вводит в заблуждение, а с другой - не дает совершенно ничего нового в сравнении с дифференциальной формулировкой (по крайней мере, в классической механике, например).

В классической механике ньютонов и лагранжев подходы имеют свои достоинства и свои недостатки.
В электродинамике и механике сплошной среды интегральная формулировка более очевидна, поэтому обычно объяснять начинают с нее.
В оптике зачастую интегральной формулировкой можно и ограничиться.

[sergey zhukov]

DimaM
Нет, я не к тому, что дифференциальная формулировка - это $F=ma$, а интегральная - это стационарность действия на конечном отрезке траектрии системы. У подхода Лагранжа тоже ведь есть дифференциальная формулировка - уравнение Эйлера-Лагранжа. Вот это и есть дифференциальное выражение стационарного принципа. С него и нужно начинать.

По моему, весь принцип наименьшего действия заключается не более, как в том, что каждой системе соответствует некоторая функция (Лагранжиан, Гамильтониан), дифференциирование которой определяет эволюцию этой системы. И главной задачей становится найти вид этой функции в выбранных обобщенных координатах данной системы. Причем принцип экстремальности никак не помогает ее найти. Когда же она найдена, то ее просто следует подставить в дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа.

[druggist]

sergey zhukov в сообщении #1543431 писал(а):

Часто можно услышать мнение о том, что экстремальные принципы (вроде принципа наименьшего действия) - это как бы телеологический подход к описанию явлений, т.е. объяснение, исходщее из конечной цели (конечная цель из будущего притягивает и направляет систему в настоящем). Это отличается от подхода, в котором все объясняется действием известных локальных причин из прошлого в каждый момент времени (причины из прошлого выталкивают систему из настоящего состояния куда-то дальше в будущее). Назовем такой подход "шаг за шагом".

Почему "куда-то"? Не куда-то, а в полностью определенном "направлении", диктуемом экстремальным принципом . Задавая начальное состояние ($q(t_0)$, $q'(t_0)$) мы приходим к единственной, строго определенной "конечной цели из будущего" ($q(t_f)$). Именно эта "цель" выбирается(выделяется) из других состояний экстремальным принципом, а дифференциальное уравнение второго порядка - уравнение Эйлера-Лагранжа- плюс начальные данные дает нам $q^*(t )$ траекторию, соответствующую экстремуму функционала. В начальный момент времени $q^*(t )= q(t_0)$ , а в конечный - $q^*(t )= q(t_f)$. Полное торжество телеологии)

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1543530 писал(а):

У подхода Лагранжа тоже ведь есть дифференциальная формулировка - уравнение Эйлера-Лагранжа. Вот это и есть дифференциальное выражение стационарного принципа. С него и нужно начинать.

Так дифференциальная формулировка получается из интегральной, а не наоборот.

[VASILISK11]

druggist в сообщении #1543553 писал(а):

Почему "куда-то"? Не куда-то, а в полностью определенном "направлении", диктуемом экстремальным принципом . Задавая начальное состояние ($q(t_0)$, $q'(t_0)$) мы приходим к единственной, строго определенной "конечной цели из будущего" ($q(t_f)$). Именно эта "цель" выбирается(выделяется) из других состояний экстремальным принципом, а дифференциальное уравнение второго порядка - уравнение Эйлера-Лагранжа- плюс начальные данные дает нам $q^*(t )$ траекторию, соответствующую экстремуму функционала. В начальный момент времени $q^*(t )= q(t_0)$ , а в конечный - $q^*(t )= q(t_f)$. Полное торжество телеологии)

Для бильярда Синая этот подход тоже работает?

[druggist]

VASILISK11 в сообщении #1544411 писал(а):

Для бильярда Синая этот подход тоже работает?

Физический подход, видимо, нет. Во всяком случае, сильно ограничен из-за чувствительности решения к начальным данным

[VASILISK11]

druggist в сообщении #1544416 писал(а):

Физический подход, видимо, нет. Во всяком случае, сильно ограничен из-за чувствительности решения к начальным данным

Поэтому нет теологического будущего, его невозможно предсказать. Динамика, в итоге, побеждает, потому что короткие отрезки времени можно смоделировать, а длинные, в общем случае, нельзя.

[druggist]

VASILISK11 в сообщении #1544417 писал(а):

Поэтому нет теологического будущего, его невозможно предсказать.

Теологического или телеологического?)

(Оффтоп)

Но продуман распорядок действий,
И неотвратим конец пути. (с)