2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображения
Сообщение17.12.2021, 07:57 


23/02/18
11
Помогите доказать, что произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 08:16 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Ramil987 в сообщении #1543252 писал(а):
Помогите доказать, что произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.
А это утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 09:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9889
Москва
nnosipov в сообщении #1543253 писал(а):
А это утверждение неверно.


Да? А контрпример можно?
Или Вы полагаете, что ТС имеет в виду многочлены не над числами, действительными или комплексными, а над какими-то кольцами с делителями нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 09:24 
Аватара пользователя


23/05/20
379
Беларусь
Ramil987 в сообщении #1543252 писал(а):
произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.

nnosipov в сообщении #1543253 писал(а):
А это утверждение неверно.


Утверждение неверно для произвольного поля. Для поля характеристики ноль оно мне кажется верным.
Берем один многочлен:$(x-a_1)(x-a_2)=0$
Берем второй многочлен:$(x-b_1)(x-b_2)=0$
Берем произведение $(x-a_1)(x-a_2)(x-b_1)(x-b_2)=0$ в результате многочлен с объединением корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 09:51 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Евгений Машеров в сообщении #1543256 писал(а):
Или Вы полагаете, что ТС имеет в виду
Кто ж его знает, что он имеет в виду. Пусть, во всяком случае, задумается над аккуратной формулировкой вопроса.
Евгений Машеров в сообщении #1543256 писал(а):
над какими-то кольцами с делителями нуля?
Почему бы и нет? Простейший пример: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ над кольцом вычетов по модулю 8.

-- Пт дек 17, 2021 13:52:44 --

StepV в сообщении #1543257 писал(а):
Утверждение неверно для произвольного поля.
Утверждение верно для произвольного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 11:10 
Аватара пользователя


23/05/20
379
Беларусь
nnosipov в сообщении #1543261 писал(а):
Утверждение верно для произвольного поля.


Спасибо. Откорректировал свое понимание вопроса. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображения
Сообщение17.12.2021, 12:12 


23/02/18
11
Пусть к примеру многочлен состоит из произведения многочленов $F(x) = f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)$, верно ли, что эта операция приводит к объединению множеств их корней?
Из курса элементарной математики известно, что верно:
$F(x) = (x - 1)\cdot(x+2)$, корни $\left\lbrace 1, -2 \right\rbrace = \left\lbrace 1 \right\rbrace \cup \left\lbrace -2 \right\rbrace$
$f_{1}(x) = (x-1), корень \left\lbrace 1 \right\rbrace$
$f_{2}(x) = (x+2), корень \left\lbrace -2 \right\rbrace$
Это частный пример, но как провести доказательство для общего случая?

Доказательство:

Пусть множества $\mathbb{A} , \mathbb{B}$, множества корней многочленов $f_1(x) ,  f_2(x)$,
а $\mathbb{C}$ множество корней многочлена $F(x)$, тогда необходимо доказать двойное включение
множеств $\mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}  \subseteq \mathbb{C}, \mathbb{C} \subseteq \mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}$

Докажем включение $\mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}  \subseteq \mathbb{C}$. Если $x \in \mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}$, то либо $x \in \mathbb{A}$ и тогда из того, что $F(x) = 0 , f_1(x) = 0, f_2(x) = 0$
следует $F(x) = 0 \cdot f_2(x) = 0$, т.е. $\mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}  \subseteq \mathbb{C}$, либо же $x \in \mathbb{B}$ и тогда из того, что $F(x) = 0 , f_1(x) = 0, f_2(x) = 0$ следует $F(x) = f_1(x) \cdot 0 = 0$, т.е. $\mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}  \subseteq \mathbb{C}$.
Теперь докажем обратное включение $\mathbb{C} \subseteq \mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}$. Из доказанного выше, следует, что если $x \in A  \lor x \in B    \Rightarrow  f_1(x) \cdot f_2(x) = 0$ и если $x \in C  \Rightarrow F(x) = 0$, т.е. $\mathbb{C} \subseteq \mathbb{A}  \cup  \mathbb{B}$. Отсюда вывод, основное утверждение доказано.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.12.2021, 12:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.10.2022, 14:19 
Админ форума


02/02/19
2486
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group