Отображения

[Ramil987]

Помогите доказать, что произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.

[nnosipov]

Ramil987 в сообщении #1543252 писал(а):

Помогите доказать, что произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.

А это утверждение неверно.

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1543253 писал(а):

А это утверждение неверно.

Да? А контрпример можно?
Или Вы полагаете, что ТС имеет в виду многочлены не над числами, действительными или комплексными, а над какими-то кольцами с делителями нуля?

[StepV]

Ramil987 в сообщении #1543252 писал(а):

произведение многочленов приводит к объединению множеств их корней.

nnosipov в сообщении #1543253 писал(а):

А это утверждение неверно.

Утверждение неверно для произвольного поля. Для поля характеристики ноль оно мне кажется верным.
Берем один многочлен:$(x-a_1)(x-a_2)=0$
Берем второй многочлен:$(x-b_1)(x-b_2)=0$
Берем произведение $(x-a_1)(x-a_2)(x-b_1)(x-b_2)=0$ в результате многочлен с объединением корней.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1543256 писал(а):

Или Вы полагаете, что ТС имеет в виду

Кто ж его знает, что он имеет в виду. Пусть, во всяком случае, задумается над аккуратной формулировкой вопроса.

Евгений Машеров в сообщении #1543256 писал(а):

над какими-то кольцами с делителями нуля?

Почему бы и нет? Простейший пример: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ над кольцом вычетов по модулю 8.

-- Пт дек 17, 2021 13:52:44 --

StepV в сообщении #1543257 писал(а):

Утверждение неверно для произвольного поля.

Утверждение верно для произвольного поля.

[StepV]

nnosipov в сообщении #1543261 писал(а):

Утверждение верно для произвольного поля.

Спасибо. Откорректировал свое понимание вопроса.

[Ramil987]

Пусть к примеру многочлен состоит из произведения многочленов $F(x) = f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)$, верно ли, что эта операция приводит к объединению множеств их корней?
Из курса элементарной математики известно, что верно:
$F(x) = (x - 1)\cdot(x+2)$, корни $\left\lbrace 1, -2 \right\rbrace = \left\lbrace 1 \right\rbrace \cup \left\lbrace -2 \right\rbrace$
$f_{1}(x) = (x-1), корень \left\lbrace 1 \right\rbrace$
$f_{2}(x) = (x+2), корень \left\lbrace -2 \right\rbrace$
Это частный пример, но как провести доказательство для общего случая?

Доказательство:

Пусть множества $\mathbb{A} , \mathbb{B}$, множества корней многочленов $f_1(x) , f_2(x)$,
а $\mathbb{C}$ множество корней многочлена $F(x)$, тогда необходимо доказать двойное включение
множеств $\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \subseteq \mathbb{C}, \mathbb{C} \subseteq \mathbb{A} \cup \mathbb{B}$

Докажем включение $\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \subseteq \mathbb{C}$. Если $x \in \mathbb{A} \cup \mathbb{B}$, то либо $x \in \mathbb{A}$ и тогда из того, что $F(x) = 0 , f_1(x) = 0, f_2(x) = 0$
следует $F(x) = 0 \cdot f_2(x) = 0$, т.е. $\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \subseteq \mathbb{C}$, либо же $x \in \mathbb{B}$ и тогда из того, что $F(x) = 0 , f_1(x) = 0, f_2(x) = 0$ следует $F(x) = f_1(x) \cdot 0 = 0$, т.е. $\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \subseteq \mathbb{C}$.
Теперь докажем обратное включение $\mathbb{C} \subseteq \mathbb{A} \cup \mathbb{B}$. Из доказанного выше, следует, что если $x \in A \lor x \in B \Rightarrow f_1(x) \cdot f_2(x) = 0$ и если $x \in C \Rightarrow F(x) = 0$, т.е. $\mathbb{C} \subseteq \mathbb{A} \cup \mathbb{B}$. Отсюда вывод, основное утверждение доказано.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»