Зачем нужна матлогика?

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1542365 писал(а):

Вот, кстати, в логике первого порядка нельзя формализовать понятие конечного множества (а ZFC — это теория первого порядка). Потому что есть теорема, что если формальная теория (первого порядка) имеет сколь угодно большие конечные модели, то она имеет и бесконечную модель.

Гм. Ну, как я понимаю, определить конечное множество в ZFC можно. Например как неравномощное любому своему собственному подмножеству (и непустое при этом). Другое дело, что будут существовать модели, в которых определённые так "конечные" множества будут "на самом деле" бесконечными, ну так что с того? Мы же не удивляемся, что какая-нибудь "прямая" в геометрии Лобачевского в модели может оказаться вовсе и не прямой, а например хордой в открытом круге. Или что "вектор" в линейном пространстве может оказаться вовсе и не "направленным отрезком", а например функцией.

[maximav]

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Отдельно хотел бы узнать про роль матлогики в каких-нибудь обычных разделах математики типа матанализа

Она касается не матанализа как раздела, а его оснований и обоснований. Это другая деятельность. Это если коротко. Математика уже давно поняла, что основания ее самой - это тоже наука и тоже "математика" ... но другая математика.

Mikhail_K в сообщении #1542379 писал(а):

что "вектор" в линейном пространстве может оказаться вовсе и не "направленным отрезком",

Не просто не "может оказаться", а именно так и оказывается, что он НЕ является направленным отрезком. Он является просто элементом векторного пространства.

EminentVictorians в сообщении #1542345 писал(а):

Как мы рассуждаем? ... с помощью обычной человеческой логики

Это и есть предмет математической логики - превратить обычную логику в логику правильную/"логичную"/непротиворечивую. Специализации типа алгебраической геометрии или матанализа здесь не особенно важны.

EminentVictorians в сообщении #1542357 писал(а):

хотелось бы увидеть примеры применения нетривиальных результатов матлогики для задач в рамках обычных математических разделов

Как следует из предыдущего, применений в матлогике быть не должно. Иначе она перестанет быть матлогикой и станет обычной математикой.

[EminentVictorians]

maximav в сообщении #1542424 писал(а):

Она касается не матанализа как раздела, а его оснований и обоснований. Это другая деятельность.

Можно пример, какие объекты из вот этих оснований матанализа требуют матлогики? Насколько мне известно, матанализ более чем нормально обоснован обычными наивными методами.

maximav в сообщении #1542424 писал(а):

Это и есть предмет математической логики - превратить обычную логику в логику правильную/"логичную"/непротиворечивую.

А что в обычной логике неправильного и нелогичного?

maximav в сообщении #1542424 писал(а):

Как следует из предыдущего, применений в матлогике быть не должно.

Я имел в виду применения самой матлогики для обычных задач обычных разделов математики типа матанализа. Я не знаю, как это еще прозрачнее объяснить. Ну там допустим, благодаря теореме Тарского-Зайденберга придумали какой-нибудь алгоритм для численных методов или методов компьютерной алгебры. Вот на что-нибудь такое я бы посмотрел. (если что я эту теорему Тарского-Зайденберга абсолютно с потолка взял и не знаю, применяется ли она в таком ключе где-либо или нет)

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1542440 писал(а):

Вот на что-нибудь такое я бы посмотрел.

Вы вот спрашиваете: зачем-зачем. А зачем матанализ? Зачем алгоритм для численных методов или компьютерной алгебры? Зачем гомологическая алгебра, зачем алгебраическая геометрия? Зачем теория вычислительной сложности с её P-NPшнутыми вопросами? Зачем функция Вейерштрасса, ведь все настоящие функции кусочно дифференцируемы?

[zykov]

EminentVictorians в сообщении #1542440 писал(а):

Я имел в виду применения самой матлогики для обычных задач обычных разделов математики типа матанализа.

А зачем Евклид придумал аксиоматику для геометрии? Чтобы порядок был!
Вот Вы скажите кому-то, что доказали что-то в матанализе. А Вас спросят: "а докажите, что это Ваше доказательство что-то вообще доказывает"?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1542357 писал(а):

Я бы ответил так: ну так они и не рассуждали логично.

И как определить, рассуждает кто-то логично или нет? Вот представьте, что вы живете в начале 19 века, и до лекции Римана еще 50 лет, как вы поймете, что рассуждение Ампера "нелогично"?

EminentVictorians в сообщении #1542357 писал(а):

Почему я должен ей верить?

Потому что по опыту здравый смысл нас подводит существенно чаще, чем матлогика.

[EminentVictorians]

Nemiroff в сообщении #1542443 писал(а):

А зачем матанализ?

Он дает методы исследования глобальных и локальных свойств функций одного и нескольких вещественных переменных. Зачем эти функции исследовать? Очень просто - они представляют собой модели многих реальных процессов. Зачем нужно моделирование, в частности математическое - тоже очень понятно. "Зачем нужен матанализ" - это существенно другой вопрос по сравнению с "зачем нужна матлогика". Если хотите, могу расписать, как я это вижу, про остальные разделы, который Вы упомянули.

Nemiroff в сообщении #1542443 писал(а):

Зачем функция Вейерштрасса, ведь все настоящие функции кусочно дифференцируемы?

Ну во-первых не все, а во-вторых она представляет теоретический интерес. Теория должна обладать некоторой внутренней завершенностью.

zykov в сообщении #1542444 писал(а):

Вот Вы скажите кому-то, что доказали что-то в матанализе. А Вас спросят: "а докажите, что это Ваше доказательство что-то вообще доказывает"?

Это обращайтесь к kry, он Вам расскажет про бесконечный причинно-следственный регресс.

mihaild в сообщении #1542446 писал(а):

Вот представьте, что вы живете в начале 19 века, и до лекции Римана еще 50 лет, как вы поймете, что рассуждение Ампера "нелогично"?

У них ведь понятия "число" не было даже. И понятия функции тоже, насколько мне известно. А рассуждали они о числах и функциях. Мне нелогичность сразу в глаза бросается, без всякой матлогики.

mihaild в сообщении #1542446 писал(а):

Потому что по опыту здравый смысл нас подводит существенно чаще, чем матлогика.

Можно пример? Именно так, что это действительно здравый смысл, т.е. логичное рассуждение. Но неверное. Ни когнтивные искажения, ни вероятностные парадоксы, ни урна в полдень - ничего из этого не проходит. Я могу назвать только классические теоретико-множественные парадоксы и парадоксы типа лжеца/брадобрея. Но я предлагаю их пока не трогать, хотя у меня и есть некоторые мысли на этот счет. В любом случае, их по пальцам 2 рук можно пересчитать и они широко известны, а Вы пишите "существенно чаще".

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

Именно так, что это действительно здравый смысл, т.е. логичное рассуждение.

В таком случае будьте добры дать математически корректное определение логичного рассуждения, по возможности не пользуясь терминологией матлогики.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1542455 писал(а):

В таком случае будьте добры дать математически корректное определение логичного рассуждения, по возможности не пользуясь терминологией матлогики.

А с использованием матлогики оно в принципе есть? Я правда не знаю.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

Мне нелогичность сразу в глаза бросается, без всякой матлогики.

Это она вам сейчас в глаза бросается, потому что вы привыкли, что даже такое очевидное понятие как число надо определять. А появилось эта привычка именно благодаря попытке построить строгие правила, по которым можно рассуждать.

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

В любом случае, их по пальцам 2 рук можно пересчитать и они широко известны, а Вы пишите "существенно чаще".

А вы сходите на семинары по математическим предметам к первому курсу, много интересного про "здравый смысл" узнаете.
Вот лично я, например, пользуясь "здравым смыслом" на первом курсе доказал экивалентность связности и линейной связности (на лекциях дали понятие линейной связности но назвали его просто связностью, а в моем любимом учебнике Рудина было нормальное определение связности; ну и чтобы готовиться по нему, я "доказал", что эти понятия эквивалентны).

Вообще, как вы собираетесь проверять рассуждение на "логичность"? Вот у нас есть какое-то рассуждение, я говорю что оно логично, а вы - что нет. На кулачках решать будем?

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

Я могу назвать только классические теоретико-множественные парадоксы и парадоксы типа лжеца/брадобрея.

А парадокс Скулема вы к классическим относите?

EminentVictorians в сообщении #1542457 писал(а):

А с использованием матлогики оно в принципе есть?

Да, стандартно: последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по правилу вывода.

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

она представляет теоретический интерес

Она представляет теоретический интерес.

-- Сб дек 11, 2021 19:38:41 --

EminentVictorians в сообщении #1542452 писал(а):

Зачем нужно моделирование, в частности математическое - тоже очень понятно.

Это всё песни из разряда "интеграл нужен, чтоб крючок в форме интеграла скрутить и часы из унитаза вытащить.

В таком случае, вам матлогика не нужна. Забудьте.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1542458 писал(а):

А появилось эта привычка именно благодаря попытке построить строгие правила, по которым можно рассуждать.

А есть такой пример правила, по которому можно рассуждать, которое не было известно 150 лет назад до появления матлогики?

mihaild в сообщении #1542458 писал(а):

Вот лично я, например, пользуясь "здравым смыслом" на первом курсе доказал экивалентность связности и линейной связности (на лекциях дали понятие линейной связности но назвали его просто связностью, а в моем любимом учебнике Рудина было нормальное определение связности; ну и чтобы готовиться по нему, я "доказал", что эти понятия эквивалентны).

В моем понимании это все входит в категорию "логично/не логично". Ну т.е. в категорию "здравый смысл". Я уверен, что доказательство у Вас (итоговое - правильное) было обычным рассуждением, а не простыней кванторов и стрелок.

mihaild в сообщении #1542458 писал(а):

А парадокс Скулема вы к классическим относите?

У меня в голове он имеет такой же статус, как парадокс Банаха-Тарского в матанализе, но только в матлогике. Контринтуитивное утверждение, как то так. Ну и разумеется, в моем понимании они оба - не парадоксы.

mihaild в сообщении #1542458 писал(а):

Да, стандартно: последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по правилу вывода.

Да я знаю об этом, но посмотрите на формулировку вопроса: математически корректное определение логичного рассуждения. Я возьму в классической логике вывод сделаю с использованием закона исключенного третьего, а интуиционист не примет. Получается, что определение существует, но не для всех и не одно. Но ладно интуиционисты, а ультрафинитисты? Уже 3 разных определения получается.

[Nemiroff]

mihaild в сообщении #1542458 писал(а):

Да, стандартно: последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по правилу вывода.

Сложная штука. :) Тут сперва нужно определить (конечную) последовательность.

[EminentVictorians]

Nemiroff в сообщении #1542464 писал(а):

Это всё песни из разряда "интеграл нужен, чтоб крючок в форме интеграла скрутить и часы из унитаза вытащить.

Не совсем. Я же не имею ничего против, например, теории $n$-арных групп, хотя ее область применимости не такая уж и широкая. Но у нее есть ясный и естественный предмет изучения.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1542479 писал(а):

Но у нее есть ясный и естественный предмет изучения.

Чем Вам не нравятся математические доказательства как предмет изучения?