А есть такой пример правила, по которому можно рассуждать, которое не было известно 150 лет назад до появления матлогики?
150 лет назад вообще не было современного понятия "правила рассуждения". Довольно многие тогдашние рассуждения можно формализовать в сейчас существующих формальных системах, некоторые не получается (или сложно - чтобы доказывать теоремы мат. анализа как это делали в 18 веке нужен целый нестандартный анализ), а некоторые оказалось что вообще "обосновывали" неверные утверждения.
Я уверен, что доказательство у Вас (итоговое - правильное) было обычным рассуждением, а не простыней кванторов и стрелок
Правильного доказательства там быть не могло, потому что утверждение неверно. Но да, мое рассуждение было "обычным", и более того - не преобразуемым в "простыню кванторов".
Контринтуитивное утверждение, как то так. Ну и разумеется, в моем понимании они оба - не парадоксы.
Но вот без него (и аналогичных штук) вполне можно "здравым смыслом" и не заметить, что внутренняя и внешняя счетность - разные вещи.
Я возьму в классической логике вывод сделаю с использованием закона исключенного третьего, а интуиционист не примет. Получается, что определение существует, но не для всех и не одно. Но ладно интуиционисты, а ультрафинитисты? Уже 3 разных определения получается.
Так и есть, и доказывать можно в разных системах. Большая часть реальных математических работ опираются как раз на классическую логику, но есть и например конструктивный анализ (в котором не все теоремы классического анализа верны).
Тут сперва нужно определить (конечную) последовательность.
Ну естественно понятия конечной строки в алфавите и базовые операции с такими строками считаем известными:)