Трансляционно-инвариантной счётно-аддитивной меры, расширяющую меру Лебега, которая бы посчитала меру множества Витали не существует - это известный контрпример. Можно отказаться от трансляционной инвариантности, и тогда вопрос будет неразрешим в
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
(но ситуация может поменяться, если мы поверим в некоторые большие кардиналы), а можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.
Я видимо забыл требование "расширяющая меру Лебега", но для понимания моего вопроса это не существенно.
А, ну разумеется она должна продолжать меру Лебега. Иначе можно тождественно нулевую просто взять и все.