моды в проводнике

[AlexNew]

мне кажется решить можно численно.
задача на собственные значения, можно использовань метод конечных элементов или вариационный метод.

2х мерное уравнение Шредингера с потенциалом в виде треугольника с бесконечно высокими стенками.

можно попробывать аналитически, не знаю насколько это будет правельным:
решить в цилиндрической системе координат для ямы в виде цилиндра - одномерная задача решается просто, взять решения с угловой компоненнтой Пи/(2n) и посмотреть что на это скажет товарищ преподователь )

или же использовать наиденные функции в качестве базисных при решении вариационной задачи.

это для одноэлектронного приближения... для металла вам нужно будет решать системы ДУ и наверное самый простой способ - метод конечных элементов.

для конечных элементов написать програму не просто если небыло практики, можно-ли присоисибить готовые пакеты я не знаю

я бы решил аналитически для кружка а потом возможно вариационно численно уточнил решение.

Ваши вопросы немного странны, задачка не простая, значит предпологается что вы должны знать как решаются простые. Странный курс

[peregoudov]

dorota в сообщении #154078 писал(а):

И какое уравнение нужно рассматривать?Шредингера?

Какое уравнение решать и как вообще ставится задача --- это Вы должны были сказать. Сейчас обсуждается следующая постановка: решается уравнение Шредингера

$$ -\nabla_{x,y}\psi=E\psi $$

в треугольнике ABC с граничными условиями $\psi=0$ на сторонах треугольника AB, BC, CA. Имеет ли это отношение к тому, что пришло в "светлую голову" Вашего преподавателя, неизвестно.

dorota в сообщении #154078 писал(а):

Как конкретно можно решить эту задачу для прямоугольного равнобедренного треугольника?

Полного решения нет. Можно найти отдельные уровни энергии. Как --- написано здесь.

P. S. Ага, оказывается, можно сделать еще немного лучше. Равнобедренный прямоугольный треугольник можно достроить до квадрата еще одним способом: взяв четыре таких треугольника и соединив прямыми углами. Соображения цитированного поста остаются применимы, но новым способом можно построить еще и собственные функции, симметричные относительно высоты треугольника.

Итак, квадрат имеет вид $0<x<\pi$, $0<y<\pi$, треугольник --- его четверть $y>0$, $y<x$, $y<\pi-x$, собственные функции соответствуют представлениями $A_2$ (антисимметричные относительно высоты треугольника) и $B_1$ (симметричные) группы $D_4$ симметриии квадрата. Явный вид функций $\sin nx\sin my-\sin mx\sin ny$, для представления $A_2$ m,n --- четные, для $B_1$ --- нечетные.

Состояние с наинизшей энергией соответствует n=1, m=3 и имеет энергию 10. Вполне возможно, что мы построили все состояния, по крайней мере это очень похоже на основное.

[MOPO3OB]

Цитата:

мне кажется решить можно численно.
задача на собственные значения, можно использовань метод конечных элементов или вариационный метод.

ну вы сказали... просто метод сеток... это не упругие элементы, никакой выгоды нет.

Я уже говорил, разумно применить вариационный и ясно как записать "решение". произведение ТРЕХ волн с узлом не сторонах. Это не решение волнового уравнения, но автоматом обеспечивает граничные условия... дальше наука кончаетя начинается искусство. Нужно представить решение как сумму таких слагаемых с различными волновыми числами, подставить в уравнение и варьировать....в общем морока...

я имел ввиду уравнение Гельмгольца...в стационаре нему сводится и волновое уравнение и Шрединшера

[Утундрий]

Я тут подумал... Может попробовать свести задачу к ГИУ? Вот только для 2D-области бесселевы функции возникают...

[AlexNew]

peregoudov писал(а):

Равнобедренный прямоугольный треугольник можно достроить до квадрата еще одним способом: взяв четыре таких треугольника и соединив прямыми углами. Соображения цитированного поста остаются применимы, но новым способом можно построить еще и собственные функции, симметричные относительно высоты треугольника.

Итак, квадрат имеет вид $0<x<\pi$, $0<y<\pi$, треугольник --- его четверть $y>0$, $y<x$, $y<\pi-x$, собственные функции соответствуют представлениями $A_2$ (антисимметричные относительно высоты треугольника) и $B_1$ (симметричные) группы $D_4$ симметриии квадрата. Явный вид функций $\sin nx\sin my-\sin mx\sin ny$, для представления $A_2$ m,n --- четные, для $B_1$ --- нечетные.

Состояние с наинизшей энергией соответствует n=1, m=3 и имеет энергию 10. Вполне возможно, что мы построили все состояния, по крайней мере это очень похоже на основное.

хочу вас попросить обьяснить более подробно про способ решения с приминением групп, или просто ссылку дать

[peregoudov]

Я тут еше немного подумал и понял, что найдены все уровни энергии.

AlexNew в сообщении #154686 писал(а):

хочу вас попросить обьяснить более подробно про способ решения с приминением групп, или просто ссылку дать

Я лично пользовался книгой

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). --- 4-е изд., испр. --- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989, 768 с.

конкретно --- таблицей характеров на стр. 444.

А сама идея простая, я ее уже объяснял выше. Если рассматривается задача с симметрией (в данном случае --- квадрата), то уровни энергии классифицируются в соответствии с неприводимыми представлениями этой группы (представления перечислены в таблице по ссылке). Важно, что полная задача нахождения всех уровней энергии распадается на ряд независимых подзадач о нахождении уровней с определенной симметрией. Далее, есть два представления ($A_2$ и $B_1$), волновые функции которых меняют знак при отражении в диагоналях квадрата, то есть обращаются на них в нуль. Очевидно, эти волновые функции одновременно являются решенем задачи в треугольнике --- четвертинке квадрата.

Если будут какие-то более конкретные вопросы, готов пояснить.

[AlexNew]

peregoudov Спасибо Большое!!!

[MOPO3OB]

Цитата:

Итак, квадрат имеет вид $0<x<\pi$, $0<y<\pi$, треугольник --- его четверть $y>0$, $y<x$, $y<\pi-x$, собственные функции соответствуют представлениями $A_2$ (антисимметричные относительно высоты треугольника) и $B_1$ (симметричные) группы $D_4$ симметриии квадрата. Явный вид функций $\sin nx\sin my-\sin mx\sin ny$, для представления $A_2$ m,n --- четные, для $B_1$ --- нечетные.

Состояние с наинизшей энергией соответствует n=1, m=3 и имеет энергию 10. Вполне возможно, что мы построили все состояния, по крайней мере это очень похоже на основное.

Почти верно, только не четверть квадрата, а половинка. В этом случае наплевать на четность, наинизшие моды (1, 2) и (2, 1) . Но только прямоугольный треугольник....
и это единственный вариант с точным решением.

НО это развлекуха на тему акустики (идеальные граничные условия)...по жизни волновая функция "вылезает" наружу... электрон находится в яме конечной глубины....

[nestoklon]

MOPO3OB в сообщении #156239 писал(а):

НО это развлекуха на тему акустики (идеальные граничные условия)...по жизни волновая функция "вылезает" наружу... электрон находится в яме конечной глубины....

В металле? Яма конечной глубины?..
Не более чем гранусловия для ЭМ или аккустической волны в волноводе неидеальны.

Там будут гораздо важнее на самом деле совсем другие эффекты -- неприменимость одночастичного уравнения Шредингера из-за того, что газ электронов сильно вырожден и прочие прелести.

[MOPO3OB]

Цитата:

В металле? Яма конечной глубины?.

порядка 1 эВ. это сравнимо с энергией электрона.

Цитата:

Там будут гораздо важнее на самом деле совсем другие эффекты

да, конечно... но зачем пугать детей?

[jetta2001]

peregoudov писал(а):

Итак, квадрат имеет вид $0<x<\pi$, $0<y<\pi$, треугольник --- его четверть $y>0$, $y<x$, $y<\pi-x$, собственные функции соответствуют представлениями $A_2$ (антисимметричные относительно высоты треугольника) и $B_1$ (симметричные) группы $D_4$ симметриии квадрата. Явный вид функций $\sin nx\sin my-\sin mx\sin ny$, для представления $A_2$ m,n --- четные, для $B_1$ --- нечетные.

А как вы находите что волновая функция имеет именно такой вид, исходя из теории групп.

[peregoudov]

Ну, я знаю выражения для всех собственных функций --- $\psi_{mn}=\sin nx\sin my$. Многие уровни энергии двукратно вырождены (при $n\neq m$). А далее нужно просто составить линейные комбинации, которые преобразуются по определенным представлениям группы. Сильно помогает то, что для одномерных представлений характеры --- это просто множители, на которые умножаются волновые функции при преобразовании. Вообще-то есть и общая методика, описанная, скажем, в том же ЛЛ2, но в данном случае проще составить комбинации методом "проб и ошибок".