Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

svv в сообщении #1540709 писал(а):

А что у него в $j$-м столбце?

Это в смысле в $n$-м?

-- 27.11.2021, 03:14 --

Я сейчас готовлю формулы, чтобы показать мою мотивировку на примере определителя 4-го порядка.

[svv]

Нет, именно в $j$-м. Если он строится по общему правилу
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} &\ldots &a_{1j} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, j}\\a_{21} & a_{22}&\ldots &a_{2j} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, j}\\\hdotsfor{7}\\a_{n-1,1} & a_{n-1,2}&\ldots &a_{n-1,j} & \ldots & a_{n-1, n-1} & a_{n-1, j}\\a_{i1} & a_{i2}&\ldots &a_{ij} & \ldots & a_{i, n-1} & a_{i j}\end{vmatrix}$
то у такого определителя два одинаковых столбца, и он равен нулю.

[Sinoid]

Не-не-не. Там из дальнейших построений будет видно, что $i,\,j>n$. Это мой, да, косяк, что я это не оговорил. Я просто думал, как это все обобщить. А еще я тогда был после сопоставления разных многострочных систем на разных страницах пдф с целью написать из того, что у меня сейчас в голове очередную здоровую систему.

-- 27.11.2021, 05:47 --

svv в сообщении #1540712 писал(а):

Нет, именно в $j$-м. Если он строится по общему правилу
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} &\ldots &a_{1j} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, j}\\a_{21} & a_{22}&\ldots &a_{2j} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, j}\\\hdotsfor{7}\\a_{n-1,1} & a_{n-1,2}&\ldots &a_{n-1,j} & \ldots & a_{n-1, n-1} & a_{n-1, j}\\a_{i1} & a_{i2}&\ldots &a_{ij} & \ldots & a_{i, n-1} & a_{i j}\end{vmatrix}$
то у такого определителя два одинаковых столбца, и он равен нулю.

Кстати, та формула будет верна и в этом случае: там будут просто везде нули.

[zykov]

Sinoid в сообщении #1540717 писал(а):

Там из дальнейших построений будет видно, что $i,\,j>n$. Это мой, да, косяк, что я это не оговорил.

$i$ и $j$ - это обычно бегущие индексы.
Если нужны другие размеры кроме $n$ то так их и обозначьте - $n_1$, $n_2$, $m$ или $k$. И надо им тоже дать какое-то определение.

[Sinoid]

zykov в сообщении #1540724 писал(а):

$i$ и $j$ - это обычно бегущие индексы.

Так они и есть бегущие там, откуда я выудил эту формулу.

[Sinoid]

Наконец-то я готов к тому, чтобы показать, какие соображения навели меня на эту формулу. Показывать буду на примере определителя 4-го порядка. Итак,
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{22}-a_{12}\dfrac{a_{21}}{a_{11}} & a_{23}-a_{13}\dfrac{a_{21}}{a_{11}} & a_{24}-a_{14}\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\\ 0 & a_{32}-a_{12}\dfrac{a_{31}}{a_{11}} & a_{33}-a_{13}\dfrac{a_{31}}{a_{11}} & a_{34}-a_{14}\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\\ 0 & a_{42}-a_{12}\dfrac{a_{41}}{a_{11}} & a_{43}-a_{13}\dfrac{a_{41}}{a_{11}} & a_{44}-a_{14}\dfrac{a_{41}}{a_{11}} \end{vmatrix}=\dfrac{1}{a_{11}^{3}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21} & a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21}\\ 0 & a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} & a_{11}a_{34}-a_{14}a_{31}\\ 0 & a_{11}a_{42}-a_{12}a_{41} & a_{11}a_{43}-a_{13}a_{41} & a_{11}a_{44}-a_{14}a_{41} \end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{a_{11}^{3}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{a_{11}^{3}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}} \end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{a_{11}^{3}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}^{2}}\cdot$ $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=$
в предыдущей формуле не полностью влез 4-ый столбец =

(потому что)

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{1\, j}\\ a_{i\,1} & a_{i\, j} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{1\, j}\\ a_{21} & a_{2\, j} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{i\,1} & a_{i\,2} \end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{11}a_{i\, j}-a_{1\, j}a_{i\,1})-(a_{11}a_{2\, j}-a_{1\, j}a_{21})(a_{11}a_{i\,2}-a_{12}a_{i\,1})=$ $a_{11}^{2}a_{22}a_{ij}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{ij}-a_{11}a_{22}a_{1j}a_{i1}+a_{12}a_{21}a_{1j}a_{i1}-(a_{11}^{2}a_{i2}a_{2j}-a_{11}a_{21}a_{1j}a_{i2}-a_{11}a_{12}a_{2j}a_{i1}+a_{12}a_{21}a_{1j}a_{i1})=$ $a_{11}^{2}a_{22}a_{ij}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{ij}-a_{11}a_{22}a_{1j}a_{i1}-a_{11}^{2}a_{i2}a_{2j}+a_{11}a_{21}a_{1j}a_{i2}+a_{11}a_{12}a_{2j}a_{i1}=$ $a_{11}(a_{11}a_{22}a_{ij}-a_{12}a_{21}a_{ij}-a_{22}a_{1j}a_{i1}-a_{11}a_{i2}a_{2j}+a_{21}a_{1j}a_{i2}+a_{12}a_{2j}a_{i1})=$ $a_{11}((a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})a_{ij}-(a_{11}a_{2j}-a_{21}a_{1j})a_{i2}+(a_{12}a_{2j}-a_{22}a_{1j})a_{i1})=$ $a_{11}\left(\begin{vmatrix}a_{12} & a_{1j}\\ a_{22} & a_{2j} \end{vmatrix}a_{i1}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{1j}\\ a_{21} & a_{2j} \end{vmatrix}a_{i2}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}a_{ij}\right)=a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{1j}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2j}\\ a_{i1} & a_{i2} & a_{ij} \end{vmatrix}$. именно для преобразования формулы‚ стоящей перед этим оффтопом‚ мне и потребовались

zykov в сообщении #1540724 писал(а):

бегущие индексы.

$\dfrac{1}{a_{11}^{3}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}^{2}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} & a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}^{2}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}^{2}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\cdot\dfrac{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}} \end{vmatrix}=$ опять не входит, но только правые скобки определителей = $\dfrac{1}{a_{11}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}^{2}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\\ 0 & 0 & 0 & \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} \end{vmatrix}=$
не входит

(потому что)

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}=$ $\left(a_{41}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{14}\\ a_{22} & a_{24} \end{vmatrix}-a_{42}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}+a_{44}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\right)\left(a_{31}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\right)-$ $\left(a_{31}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{14}\\ a_{22} & a_{24} \end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}+a_{34}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\right)\left(a_{41}\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}-a_{42}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}+a_{43}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\right)=$ $(a_{41}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})-a_{42}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})+a_{44}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}))(a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})-a_{32}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})+a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}))-$ $(a_{31}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})-a_{32}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})+a_{34}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}))(a_{41}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})-a_{42}(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})+a_{43}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}))=$ $[\overbrace{\xcancel{a_{31}a_{41}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})}}^{1}-a_{31}a_{42}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})+a_{31}a_{44}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})]+$ $[-a_{32}a_{41}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\overbrace{\xcancel{+a_{32}a_{42}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})}}^{2}-a_{32}a_{44}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})]+$ $[a_{33}a_{41}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})-a_{33}a_{42}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+a_{33}a_{44}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})^{2}]-$ $\{\overbrace{\xcancel{a_{31}a_{41}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})}}^{1}-a_{32}a_{41}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})+a_{34}a_{41}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})]+$ $[-a_{31}a_{42}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\overbrace{\xcancel{+a_{32}a_{42}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})}}^{2}-a_{34}a_{42}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})]+$ $[a_{31}a_{43}(a_{12}a_{24}-a_{14}a_{22})(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})-a_{32}a_{43}(a_{11}a_{24}-a_{14}a_{21})(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+a_{34}a_{43}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})^{2}]\}=$

$-a_{31}a_{42}(a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}-a_{12}a_{14}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{22}a_{24}+a_{13}a_{14}a_{21}a_{22})+a_{31}a_{44}(a_{11}a_{12}a_{22}a_{23}-a_{12}^{2}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{22}^{2}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{22})$ $-a_{32}a_{41}(a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{22}a_{23}-a_{12}a_{13}a_{21}a_{24}+a_{13}a_{14}a_{21}a_{22})-a_{32}a_{44}(a_{11}^{2}a_{22}a_{23}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{21}a_{22}+a_{12}a_{13}a_{21}^{2})$ $+a_{33}a_{41}(a_{11}a_{12}a_{22}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{22}^{2}-a_{12}^{2}a_{21}a_{24}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{22})-a_{33}a_{42}(a_{11}^{2}a_{22}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{21}a_{22}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{24}+a_{12}a_{14}a_{21}^{2})+a_{33}a_{44}(a_{11}^{2}a_{22}^{2}-2a_{11}a_{12}a_{21}a_{22}+a_{12}^{2}a_{21}^{2})-$ $-\{-a_{32}a_{41}(a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}-a_{12}a_{14}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{22}a_{24}+a_{13}a_{14}a_{21}a_{22})+a_{34}a_{41}(a_{11}a_{12}a_{22}a_{23}-a_{12}^{2}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{22}^{2}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{22})$ $-a_{31}a_{42}(a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{22}a_{23}-a_{12}a_{13}a_{21}a_{24}+a_{13}a_{14}a_{21}a_{22})-a_{34}a_{42}(a_{11}^{2}a_{22}a_{23}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{23}-a_{11}a_{13}a_{2.1}a_{22}+a_{12}a_{13}a_{21}^{2})$ $+a_{31}a_{43}(a_{11}a_{12}a_{22}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{22}^{2}-a_{12}^{2}a_{21}a_{24}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{22})-a_{32}a_{43}(a_{11}^{2}a_{22}a_{24}-a_{11}a_{14}a_{21}a_{22}-a_{11}a_{12}a_{21}a_{24}+a_{12}a_{14}a_{21}^{2})+a_{34}a_{43}(a_{11}^{2}a_{22}^{2}-2a_{11}a_{12}a_{21}a_{22}+a_{12}^{2}a_{21}^{2})\}=$ $\overbrace{\cancel{-a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}a_{31}a_{42}}}^{1}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{11}a_{13}a_{22}a_{24}a_{31}a_{42}\overbrace{\cancel{-a_{13}a_{14}a_{21}a_{22}a_{31}a_{42}}}^{2}+a_{11}a_{12}a_{22}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{12}^{2}a_{21}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{11}a_{13}a_{22}^{2}a_{31}a_{44}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{22}a_{31}a_{44}$ $\overbrace{\cancel{-a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}a_{32}a_{41}}}^{3}+a_{11}a_{14}a_{22}a_{23}a_{32}a_{41}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{24}a_{32}a_{41}\overbrace{\cancel{-a_{13}a_{14}a_{21}a_{22}a_{32}a_{41}}}^{4}-a_{11}^{2}a_{22}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{12}a_{21}a_{23}a_{32}a_{44}$ $+a_{11}a_{13}a_{21}a_{22}a_{32}a_{44}-a{}_{12}a_{13}a_{21}^{2}a_{32}a_{44}$ $+a_{11}a_{12}a_{22}a_{24}a_{33}a_{41}-a_{11}a_{14}a_{22}^{2}a_{33}a_{41}-a_{12}^{2}a_{21}a_{24}a_{33}a_{41}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{22}a_{33}a_{41}-a_{11}^{2}a_{22}a_{24}a_{33}a_{42}+a_{11}a_{14}a_{21}a_{22}a_{33}a_{42}+a_{11}a_{12}a_{21}a_{24}a_{33}a_{42}$ $-a_{12}a_{14}a_{21}^{2}a_{33}a_{42}+a_{11}^{2}a_{22}^{2}a_{33}a_{44}-2a_{11}a_{12}a_{21}a_{22}a_{33}a_{44}+a_{12}^{2}a_{21}^{.2}a_{33}a_{44}$$-\{\overbrace{\cancel{-a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}a_{32}a_{41}}}^{3}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{23}a_{32}a_{41}+a_{11}a_{13}a_{22}a_{24}a_{32}a_{41}\overbrace{\cancel{-a_{13}a_{14}a_{21}a_{22}a_{32}a_{41}}}^{4}$ $+a_{11}a_{12}a_{22}a_{23}a_{34}a_{41}-a_{12}^{2}a_{21}a_{23}a_{34}a_{41}-a_{11}a_{13}a_{22}^{2}a_{34}a_{41}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{22}a_{34}a_{41}$ $\overbrace{\cancel{-a_{11}a_{12}a_{23}a_{24}a_{31}a_{42}}}^{1}+a_{11}a_{14}a_{22}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{12}a_{13}a_{21}a_{24}a_{31}a_{42}\overbrace{\cancel{-a_{13}a_{14}a_{21}a_{22}a_{31}a_{42}}}^{2}$$-a_{11}^{2}a_{22}a_{23}a_{34}a_{42}+a_{11}a_{12}a_{21}a_{23}a_{34}a_{42}+a_{11}a_{13}a_{21}a_{22}a_{34}a_{42}-a_{12}a_{13}a_{21}^{2}a_{34}a_{42}$ $+a_{11}a_{12}a_{22}a_{24}a_{31}a_{43}-a_{11}a_{14}a_{22}^{2}a_{31}a_{43}-a_{12}^{2}a_{21}a_{24}a_{31}a_{43}+a_{12}a_{14}a_{21}a_{22}a_{31}a_{43}-a_{11}^{2}a_{22}a_{24}a_{32}a_{43}+a_{11}a_{14}a_{21}a_{22}a_{32}a_{43}+a_{11}a_{12}a_{21}a_{24}a_{32}a_{43}-a_{12}a_{14}a_{21}^{2}a_{32}a_{43}$ $+a_{11}^{2}a_{22}^{2}a_{34}a_{43}-2a_{11}a_{12}a_{21}a_{22}a_{34}a_{43}+a_{12}^{2}a_{21}^{2}a_{34}a_{43}\}=$

[lel0lel]

Енто нечитаемо.
Может лучше выписать формулу явно для матриц $3\times 3$ и для матриц $4\times 4$. В маленьких размерностях её можно доказать арифметикой (если, конечно, она верная). А дальше можно подумать над общим доказательством.

[Sinoid]

Не вошло: превысил 20000 символов.

-- 05.12.2021, 17:10 --

lel0lel в сообщении #1541738 писал(а):

Может лучше выписать формулу явно для матриц $3\times 3$

Для второго порядка у меня написано в первом оффтопе. Как писать дальше, не знаю. Может, превью? А так у меня есть соображения и для общего случая. Я и начал его расписывать, но очень быстро все вышло за размеры одного экрана, так что стало очень сложно.

[lel0lel]

Sinoid в сообщении #1541739 писал(а):

Для второго порядка у меня написано в первом оффтопе.

Только это для третьего порядка.
Как и предполагалось это Desnanot-Jacobi identity. Погуглите, в английской Вики есть доказательство. Только Вы тождество выписываете не в совсем привычной форме, предварительно переставлены строки и столбцы.

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1541742 писал(а):

Только это для третьего порядка.

Я имел ввиду, что вторые порядки у меня слева.

[lel0lel]

А я имел ввиду, что третий порядок у Вас справа)

[Sinoid]

lel0lel
самое главное, мы в итоге сошлись во мнениях)

-- 05.12.2021, 18:00 --

Но интересным стало даже не само доказательство этого тождества, а то, что это подсказывает идею, как можно доказывать делимость какого-либо выражения от нескольких переменных на определитель (в кольце многочленов от нескольких переменных. Если я правильно употребил терминологию в предыдущем предложении).

[Sinoid]

(не могу найти)

Ребят! Здесь недавно в свободном полете 1 писатель советовался с физиками по поводу некоторых нюансов теории относительности. В том обсуждении была ссылка. Я тогда не мог, думаю, потом посмотрю, а сейчас не могу никак найти. Никто не видел?

[Aritaborian]

(Писатель)

https://dxdy.ru/topic147765.html. Или топик вы уже нашли, а желаемую ссылку там найти не можете?

[Sinoid]

(Оффтоп)

Да-да, спасибо, мне уже помогли. Оказывается, я перепутал: там была книга, а не ссылка. Это и лучше, и хуже. Хуже тем, что в ближайшее время я ее, скорее всего, прочитать не смогу. Вот если бы это все умещалось на одной html-странице... Как мне казалось...