Зачем нужна матлогика?

[Markus228]

zykov в сообщении #1540789 писал(а):

Например переход от конечномерных операторов к бесконечномерным. Наивно переносить свойства первых на вторые неверно.

А бесконечномерные начинаются со счетной бесконечности

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1540789 писал(а):

Например переход от конечномерных операторов к бесконечномерным.

Дак это ж 2 разных объекта. Ни о каком переносе свойств ни в наивной, ни в формальной аксиоматизации речи не идет, разве нет?

[zykov]

Markus228 в сообщении #1540794 писал(а):

А бесконечномерные начинаются со счетной бесконечности

Суть там не в том, что количество измерений счётно, а что линейное пространство строится над действительными (или комплексными) числами, которые несчётны.

[Markus228]

zykov в сообщении #1540797 писал(а):

уть там не в том, что количество измерений счётно, а что линейное пространство строится над действительными (или комплексными) числами, которые несчётны.

А в случае конечного числа измерений разве не так? там же странностей нет?

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1540789 писал(а):

Чтобы это стало математикой, нужно хотя бы свойства формализовать.

А точно ли нужно их формализовать? Я бы слово "формализовать" заменил словом "сформулировать". Формализовать - это, как я понимаю, в рамках какой-то формальной системы. Но почему мы решили, что наличие формальной системы должно быть необходимым условием того, чтобы нечто стало математикой?

[zykov]

Потому что "сформулировать" без формальной системы - это значит просто полагаться на интуицию, иметь неоднозначность трактовки (субъективность). Если нет ситемы, то один человек может понимать под этими словами одно, а другой - другое.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):

сродни вопросу существования множества промежуточной мощности между алеф ноль и алеф 1. Стандартный ответ здесь, что континуум гипотеза независима от аксиом $ZFC$.

Между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ нет промежуточных мощностей просто по определению $\aleph_1$. В континуум-гипотезе речь идёт о мощности, промежуточной между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1540832 писал(а):

Между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ нет промежуточных мощностей просто по определению $\aleph_1$. В континуум-гипотезе речь идёт о мощности, промежуточной между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$.

Да, конечно. Я там поторопился и ерунду написал. Имелось в виду, что $\aleph_1$ совпадает с $2^{\aleph_0}$.

[Markus228]

Someone в сообщении #1540832 писал(а):

Между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ нет промежуточных мощностей просто по определению $\aleph_1$. В континуум-гипотезе речь идёт о мощности, промежуточной между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$.

А почему не определить $\aleph_1=2^{\aleph_0}$? А вдруг для любой мощности $\aleph$ можно найти такую $\aleph_1$, что $\aleph_0 <\aleph_1<\aleph$, т.е. просто не существует мощности, следующей за $\aleph_0$ при верности континуум-гипотезы

[Mikhail_K]

Markus228 в сообщении #1540836 писал(а):

А вдруг для любой мощности $\aleph$ можно найти такую $\aleph_1$, что $\aleph_0 <\aleph_1<\aleph$, т.е. просто не существует мощности, следующей за $\aleph_0$ при верности континуум-гипотезы

Да нет, следующая после $\aleph_0$ мощность существует, это доказывается. Такую мощность имеет множество всех счётных ординалов (они же порядковые числа, они же трансфинитные числа). Неизвестно лишь, равномощно это множество континууму или нет.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Я где-то здесь, на форуме видел про то, что в $ZFC$ неразрешим вопрос о мере, которая сигма аддитивна и относительно нее измеримо множество Витали.

Можно ссылку на обсуждение?

[EminentVictorians]

Padawan, вот этот фрагмент:

kp9r4d в сообщении #1080754 писал(а):

Трансляционно-инвариантной счётно-аддитивной меры, расширяющую меру Лебега, которая бы посчитала меру множества Витали не существует - это известный контрпример. Можно отказаться от трансляционной инвариантности, и тогда вопрос будет неразрешим в $ZFC$ (но ситуация может поменяться, если мы поверим в некоторые большие кардиналы), а можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества $\mathbb{R}$, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.

Я видимо забыл требование "расширяющая меру Лебега", но для понимания моего вопроса это не существенно.

-- 28.11.2021, 12:57 --

А, ну разумеется она должна продолжать меру Лебега. Иначе можно тождественно нулевую просто взять и все.

[EminentVictorians]

А есть ли пример применения матлогики для задач матанализа? Но не просто там независимость чего то от $ZFC$, а вот конкретную полноценную теорему, которая утверждает что-то содержательное и формулируется в обычных терминах, но доказательство этой теоремы использует аппарат матлогики. Можно вместо матанализа взять общую топологию, тоже интересно.

[EminentVictorians]

Я посмотрел историю подобных тем на форуме. Близкие по содержанию темы поднимались, но итоговый результат не очень понятен, по крайней мере мне, как человеку, читающему со стороны и не владеющему предметом. В общем, я хотел бы возобновить обсуждение в этой теме по двум причинам: чтобы самому разобраться, и чтобы довести обсуждение до какого-то логического завершения. А то на текущий момент тема на мой взгляд какая-то незавершенная. Да и вряд ли я один такой, которому матлогика непонятна. Может кто-нибудь потом прочитает с пользой.

[sour]

Матлогика нужна чтобы слова поменьше писать.