Трансляционно-инвариантной счётно-аддитивной меры, расширяющую меру Лебега, которая бы посчитала меру множества Витали не существует - это известный контрпример. Можно отказаться от трансляционной инвариантности, и тогда вопрос будет неразрешим в
(но ситуация может поменяться, если мы поверим в некоторые большие кардиналы), а можно отказаться от счётной аддитивности и тогда, используя теорему Хана-Банаха, можно расширить меру Лебега на все подмножества
, но эта "расширенная мера" будет всего лишь конечно-аддитивной.
Я видимо забыл требование "расширяющая меру Лебега", но для понимания моего вопроса это не существенно.
А, ну разумеется она должна продолжать меру Лебега. Иначе можно тождественно нулевую просто взять и все.