2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 14:31 


22/10/20
1206
Я хотел бы разобраться, в чем смысл матлогики, зачем она нужна. Для меня этот предмет очень сложный, в первую очередь из-за того, что я не понимаю цели основных построений. Я первоначально думал, что матлогика нужна для большей строгости в рассуждениях в любой другой области математики. Но сейчас я этот вариант откинул. В самом деле, я вполне нормально себя чувствую, рассуждая обычным человеческим образом. Почему я должен в своих рассуждениях опираться на какой-то там язык первого порядка с какими-то аксиомами? Почему, например, язык не второго порядка? Или бесконечного порядка?

Вот мне, например, нравится сюжет про булевы функции, полные булевы базисы, нормальные формы, полиномы Жегалкина. Во-первых, сами объекты очень естественные, а во-вторых приятно, когда результаты из абстрактной алгебры находят конкретное применение к этим вещам. Но логика то тут при чем? Вроде бы самые обычные объекты дискретной математики, которые могли бы быть в одной книжке наряду с какими-нибудь перестановками, производящими функциями, факториалами и т.д.

Если бы матлогика была бы только о строгости математических доказательств, я бы наверное вообще не открывал бы ее даже. Проблема в том, что у меня есть подозрение, что матлогика совсем о другом. Пример: Теорема Мальцева: Если квазиуниверсальная формула $\text{Ф}$ истинна на подсистемах $A_i$, локально покрывающих алгебраическую систему $A$, то $\text{Ф}$ истинна и на $A$. Я понимаю так, что эта теорема дает очень сильное достаточное условие истинности для огромного количества утверждений. Но здесь и речи нету ни о какой строгости математических рассуждений. Как было в обычной алгебре? Мы брали какой-то объект (например, группа), определяли для него какие-то понятия (например, подгруппа, смежный класс, нормальная подгруппа) и далее находили связи между этими понятиями (множества смежных классов по нормальной подгруппе совпадают). А здесь получается намного круче. Мы берем некоторый набор средств (формулы и термы из какой-то формальной системы), который как-то связан с нашим представлением об объектах целой предметной области (например, теории групп). Этот набор средств в некотором смысле хорош. Например, он обладает рекурсивной природой. А значит к нему можно применять индукцию по построению формул. Т.е. мы как бы работаем не в самой предметной области, а "над" ней. Получаем какие-то результаты о наших формальных конструкциях (формулах формальной теории) и интерпретируем их с точки зрения интересующей нас предметной области (теории групп). Так что ли?

Отдельно хотел бы узнать про роль матлогики в каких-нибудь обычных разделах математики типа матанализа. Я где-то здесь, на форуме видел про то, что в $ZFC$ неразрешим вопрос о мере, которая сигма аддитивна и относительно нее измеримо множество Витали. А якобы если добавить аксиому существования какого-то большого кардинала, то станет разрешим. Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы. Допустим, я вообще не знаю, что такое $ZFC$ и мыслю в рамках канторовской теории множеств. Получается, что я могу наткнуться на какие-то обычные вещи из матанализа, которые без матлогики никак не решаются?

В общем, помогите разобраться, о чем матлогика и что от нее стоит ожидать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):
Допустим, я вообще не знаю, что такое $ZFC$ и мыслю в рамках канторовской теории множеств. Получается, что я могу наткнуться на
противоречия (например, парадокс Рассела).
Хотя, конечно, при минимальной осторожности - не наткнётесь, но ведь вопрос о том, какая именно осторожность требуется, интересен сам по себе.
Вполне можно работать в различных областях математики, не зная матлогики и не обращаясь к ней.
Но и вопрос оснований тоже интересен, поэтому его тоже развивают.

-- 27.11.2021, 14:50 --

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):
Я где-то здесь, на форуме видел про то, что в $ZFC$ неразрешим вопрос о мере, которая сигма аддитивна и относительно нее измеримо множество Витали. А якобы если добавить аксиому существования какого-то большого кардинала, то станет разрешим. Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы.
Но и вопрос о существовании сверхзапутанных мер, которые никогда никто не сможет вычислить, столь же эфемерен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 14:53 


22/10/20
1206
Mikhail_K в сообщении #1540754 писал(а):
противоречия (например, парадокс Рассела).
Вот кстати, я о них знал, но даже забыл написать - настолько они меня не волнуют. А вот запутанные меры и классы Бэра волнуют...

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 15:11 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):
Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы.
Это только кажется, что $\mathbb{R}$ такой простой.
Вообще вопрос бесконечностей в математике - тонкий вопрос (например переход от конечномреных опреторов к бесконечномерным).
Пожалуй, только счётная бесконечность довольно безопасна. Маловероятно, что там что-то странное может вылезти.
А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 15:32 


12/08/21

219
zykov в сообщении #1540756 писал(а):
Пожалуй, только счётная бесконечность довольно безопасна. Маловероятно, что там что-то странное может вылезти.
А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.

Да ладно, парадокс бесконечного отеля и урны в полдень с вами не согласны :mrgreen:
А если они нам не кажутся странными, непонятно что не так с парадоксом Банаха-Тарского. Т.е. неясно, где проводить границу между странностями и нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 15:38 


22/10/20
1206
zykov в сообщении #1540756 писал(а):
А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.
Тут надо различать. Например, для меня "парадокс" Банаха-Тарского никакой не парадокс и вполне естественная вещь. Манипуляции с неизмеримыми множествами привели к неинтуитивному результату - что здесь удивительного? Можно так же удивляться существованию функций с несколькими пределами в какой-нибудь нехаусдорфовой топологии, но по сути это не более, чем артефакт определений. Вполне естественная ситуация. А вот ситуация, когда некоторые вещи из матанализа совсем не поддаются никакому анализу без знаний матлогики и конкретных формальных теорий - вот это действительно странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 15:40 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
Markus228 в сообщении #1540762 писал(а):
Да ладно, парадокс бесконечного отеля и урны в полдень с вами не согласны
Я не про пародоксы (которые легко разрешаются), и не про "странности", а про действительно проблемы.

-- 27.11.2021, 15:43 --

EminentVictorians в сообщении #1540763 писал(а):
А вот ситуация, когда некоторые вещи из матанализа совсем не поддаются никакому анализу без знаний матлогики
Это как раз и показывает, что наивный подход к матанализу таит ловушки. И что нужен строгий подход на основе логики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 16:28 


22/10/20
1206
zykov, мне кажется мы о разных вещах говорим. Вот есть просто факты из матанализа, которые неинтуитивные (типа парадокса Банаха-Тарского). Для кого-то может быть правило дифференцирования композиции функций является неинтуитивным. Но это не означает, что с этими утверждениями что-то не так. Они полностью корректные и для их понимания ничего кроме здравого смысла не нужно. С другой стороны, есть точно такие же на первый взгляд утверждения, но для того, чтобы провести какой-то их анализ, нужно строить специальную формальную систему и задействовать аппарат матлогики. Я так понимаю, что вопрос существования той сигма аддитивной меры сродни вопросу существования множества промежуточной мощности между алеф ноль и алеф 1. Стандартный ответ здесь, что континуум гипотеза независима от аксиом $ZFC$. Т.е. я так понимаю, что мы не сможем построить такое множество средствами $ZFC$. Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами? Кстати, было бы интересно узнать, существуют ли множества промежуточной мощности в рамках каких-нибудь других аксиоматизаций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):
Я так понимаю, что вопрос существования той сигма аддитивной меры сродни вопросу существования множества промежуточной мощности между алеф ноль и алеф 1. Стандартный ответ здесь, что континуум гипотеза независима от аксиом $ZFC$. Т.е. я так понимаю, что мы не сможем построить такое множество средствами $ZFC$. Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами?
Ну, это просто значит, что никакими имеющимися в современной математике средствами такое множество построить нельзя.
EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):
Кстати, было бы интересно узнать, существуют ли множества промежуточной мощности в рамках каких-нибудь других аксиоматизаций?
Видимо, только в тех, где существование таких множеств постулируется.
EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):
Они полностью корректные и для их понимания ничего кроме здравого смысла не нужно. С другой стороны, есть точно такие же на первый взгляд утверждения, но для того, чтобы провести какой-то их анализ, нужно строить специальную формальную систему и задействовать аппарат матлогики.
Ну, если утверждение долго не удаётся ни доказать, ни опровергнуть (средствами "обычной математики"), можно попытаться доказать, что его и нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках тех или иных аксиоматических систем (и здесь требуется аппарат матлогики).

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 16:45 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):
Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами?
Можно и другими средствами строить. А это просто общепринятый путь, который работает на практике (в физике или в инженерных приложениях).
Смотри например p-adic analysis.
Цитата:
For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
zykov в сообщении #1540777 писал(а):
Смотри например p-adic analysis.
При чём тут $p$-адический анализ? Насколько я понимаю, он в точно такой же мере базируется на ZFC (и точно в такой же мере относительно самостоятелен), что и классический анализ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 17:03 


22/10/20
1206
Mikhail_K в сообщении #1540775 писал(а):
Ну, это просто значит, что никакими имеющимися в современной математике средствами такое множество построить нельзя.
А можно ли поставить знак равенства между "средства, имеющиеся в современной математике" = "средства, имеющиеся в $ZFC$"? Просто я бы не удивился, если бы какие-нибудь построения из высших категорий (Джейкоб Лурье) не вписывались бы в $ZFC$. Ну и что с того? Это бы говорило имхо как раз таки в пользу высших категорий и против $ZFC$. Но об этом я ничего не знаю, просто недавно наткнулся случайно.

Mikhail_K в сообщении #1540775 писал(а):
Ну, если утверждение долго не удаётся ни доказать, ни опровергнуть (средствами "обычной математики"), можно попытаться доказать, что его и нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках тех или иных аксиоматических систем (и здесь требуется аппарат матлогики).
Вот это кстати очень интересно. Мы же для одних и тех же объектов можем строить разные формальные системы. Например, натуральные числа могут быть формализованы в $PA$, а могут быть в $ZFC$. И есть теорема Гудстейна. В $PA$ она недоказуема, а в $ZFC$, если я все правильно помню, она истинна. Для меня это означает лишь, что формальная система - это некоторая тень тех объектов, которые мы изучаем. Эта тень может наследовать, а может и не наследовать какие-то свойства изучаемого объекта. Это перекликается с вот этим фрагментом из стартового сообщения:
EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):
Получаем какие-то результаты о наших формальных конструкциях (формулах формальной теории) и интерпретируем их с точки зрения интересующей нас предметной области (теории групп).
Я к тому, что интерпретация результатов, полученных из формальных систем - это вероятно тоже нетривиальный процесс. Получается, что натуральные числа - это объект из наивной теории множеств. А все его аксиоматизации, будь то $PA$ или $ZFC$ или что-то еще - это уже другие объекты, которые с натуральными числами связаны, но не тождественны. И мне кстати эта точка зрения очень ипонирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 17:45 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
Mikhail_K в сообщении #1540778 писал(а):
При чём тут $p$-адический анализ? Насколько я понимаю, он в точно такой же мере базируется на ZFC
Для примера, что анализ может и по-другому строиться, не только как классический анализ.
А у ZFC тоже есть альтернативы: Аксиоматические теории множеств.
Цитата:
Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них система Морса — Келли, система Крипке — Платека, система Тарского — Гротендика.
Так что классический анализ на ZFC - это не что-то выбитое в камне, а один из возможных вариантов. Но самый распространённый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 17:45 


12/08/21

219
zykov в сообщении #1540765 писал(а):
Я не про пародоксы (которые легко разрешаются), и не про "странности", а про действительно проблемы.

И какие же например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем нужна матлогика?
Сообщение27.11.2021, 17:51 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
EminentVictorians в сообщении #1540779 писал(а):
Я к тому, что интерпретация результатов, полученных из формальных систем - это вероятно тоже нетривиальный процесс. Получается, что натуральные числа - это объект из наивной теории множеств. А все его аксиоматизации, будь то $PA$ или $ZFC$ или что-то еще - это уже другие объекты, которые с натуральными числами связаны, но не тождественны.
Верно.
Только по сути этих натуральных чисел и нет, пока их формально не определили. По крайней мере нет в математике.
Есть объект/сущность из реального мира (те же яблоки в корзине или камушки в кучке) и есть интуитивные свойства этого объекта (полученные из опыта).
Чтобы это стало математикой, нужно хотя бы свойства формализовать.

-- 27.11.2021, 17:53 --

Markus228 в сообщении #1540787 писал(а):
И какие же например?
Например переход от конечномерных операторов к бесконечномерным. Наивно переносить свойства первых на вторые неверно. И в отличии от парадоксов тут не отделаться коротким объяснением. Нужно строить целую теорию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group