2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 11:55 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Доброго времени суток!
В литературе часто встречается гамильтониан вида
$H= p_1^2+p_2^2+\alpha( q_1^2+q_2^2)+\beta(q_1^4+ q_2^4)+ \textcolor{blue}{\gamma q_1^2q_2^2}, где $q_j,\,p_j -$ обобщенные координаты и импульсы.
Обычно этот гамильтониан приписывают к системе связанных осцилляторов.
Однако не увидел конкретную модель где бы она могла проявится.
В связи с этим вопрос, какой конкретная модель могла бы задаваться таким гамильтонианом? Особенно интересует "связывающий" член, выделенный синим цветом. Как физически могло бы реализоваться такое взаимодействие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 12:25 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Пусть $U(q_1,q_2)$ симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам. Раскладываем его в ряд в окрестности минимума с требуемой точностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 13:08 
Аватара пользователя


05/04/13
580
lel0lel в сообщении #1540737 писал(а):
Пусть $U(q_1,q_2)$ симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам. Раскладываем его в ряд в окрестности минимума с требуемой точностью.

Тогда возникнут и другие члены четвертого порядка, типа $\sim q_1q_2^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 13:23 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
TelmanStud в сообщении #1540741 писал(а):
типа $\sim q_1q_2^3$
меняет знак, если $q_1$ или $q_2$ изменит знак

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 13:33 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
TelmanStud
Попробуйте разложить $-\frac{1}{1+x^2+y^2}$ в окрестности нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 15:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Спасибо! Да это приводит при разложении к данному гамильтониану. Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$, и не понятно как добиться
условия
Цитата:
симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 15:41 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
TelmanStud в сообщении #1540758 писал(а):
Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$

Не слишком понятно, что значит классически. Разве пример выше это не классический потенциал? Если хочется чтобы энергия взаимодействия зависела только от разности координат, то, по-моему нужного гамильтониана не получится. Но обычно на энергию взаимодействия не накладывают таких условий. Поэтому, можно считать, что получаются два ангармонических осциллятора с энергией взаимодействия $q_1^2q_2^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 15:46 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
TelmanStud в сообщении #1540758 писал(а):
Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$, и
Это не "классический".
Это потенциал свободной пары взаимодействующих друг с другом частиц.
А в исходном посте две частицы не только взаимодействуют, но и захвачены в потенциальной яме (т.е. не свободны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение27.11.2021, 15:55 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Точно. Спасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение29.11.2021, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2395
Снаружи ускорителя
TelmanStud в сообщении #1540733 писал(а):
Однако не увидел конкретную модель где бы она могла проявится.

Помимо приведённой toy model, этот гамильтониан постоянно встречается в описании молекулярных колебаний. Разложение общего вида потенциала в ряд Тейлора тоже даёт такого рода взаимодействия.
TelmanStud в сообщении #1540741 писал(а):
Тогда возникнут и другие члены четвертого порядка, типа $\sim q_1q_2^3$

И такие члены тоже могут возникать, и даже кубические. Какие из коэффициентов перед ними будут нулевыми, а какие нет, в частности будет зависеть от симметрии конкретных колебаний. В частности, если колебания имеют разную симметрию, то взаимодействия приведённого Вами вида не будут случаться, и минимально возможными связями будут именно те, что даны в первом сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение02.12.2021, 20:57 
Аватара пользователя


05/04/13
580
madschumacher в сообщении #1540983 писал(а):
этот гамильтониан постоянно встречается в описании молекулярных колебаний.

Можно ссылку на статью или книгу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение03.12.2021, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2395
Снаружи ускорителя
TelmanStud в сообщении #1541411 писал(а):
Можно ссылку на статью или книгу?

Моя любимая:
Банкер Ф., Йенсен П.
Симметрия молекул и спектроскопия.
Пер. с англ.
2004. 768 с. ISBN 5-03-003546-X.

А так можно много найти по запросу: "VPT2", где под аббревиатурой скрывается "vibrational perturbation theory". Собственно, там Ваши каплинги мод из Гамильтониана зовутся "полудиагональным тензором квартичного поля".

 Профиль  
                  
 
 Re: Quartic Interaction
Сообщение03.12.2021, 11:47 
Аватара пользователя


05/04/13
580
madschumacher
Благодарю!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group