Quartic Interaction

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
В литературе часто встречается гамильтониан вида
$H= p_1^2+p_2^2+\alpha( q_1^2+q_2^2)+\beta(q_1^4+ q_2^4)+ \textcolor{blue}{\gamma q_1^2q_2^2}, где $q_j,\,p_j -$ обобщенные координаты и импульсы.
Обычно этот гамильтониан приписывают к системе связанных осцилляторов.
Однако не увидел конкретную модель где бы она могла проявится.
В связи с этим вопрос, какой конкретная модель могла бы задаваться таким гамильтонианом? Особенно интересует "связывающий" член, выделенный синим цветом. Как физически могло бы реализоваться такое взаимодействие?

[lel0lel]

Пусть $U(q_1,q_2)$ симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам. Раскладываем его в ряд в окрестности минимума с требуемой точностью.

[TelmanStud]

lel0lel в сообщении #1540737 писал(а):

Пусть $U(q_1,q_2)$ симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам. Раскладываем его в ряд в окрестности минимума с требуемой точностью.

Тогда возникнут и другие члены четвертого порядка, типа $\sim q_1q_2^3$

[zykov]

TelmanStud в сообщении #1540741 писал(а):

типа $\sim q_1q_2^3$

меняет знак, если $q_1$ или $q_2$ изменит знак

[lel0lel]

TelmanStud
Попробуйте разложить $-\frac{1}{1+x^2+y^2}$ в окрестности нуля.

[TelmanStud]

Спасибо! Да это приводит при разложении к данному гамильтониану. Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$, и не понятно как добиться
условия

Цитата:

симметричный относительно перестановки $q_1, q_2$ потенциал, являющийся четной функцией по обоим аргументам.

[lel0lel]

TelmanStud в сообщении #1540758 писал(а):

Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$

Не слишком понятно, что значит классически. Разве пример выше это не классический потенциал? Если хочется чтобы энергия взаимодействия зависела только от разности координат, то, по-моему нужного гамильтониана не получится. Но обычно на энергию взаимодействия не накладывают таких условий. Поэтому, можно считать, что получаются два ангармонических осциллятора с энергией взаимодействия $q_1^2q_2^2$.

[zykov]

TelmanStud в сообщении #1540758 писал(а):

Однако классически потенциал имеет вид $U(q_1-q_2)$, и

Это не "классический".
Это потенциал свободной пары взаимодействующих друг с другом частиц.
А в исходном посте две частицы не только взаимодействуют, но и захвачены в потенциальной яме (т.е. не свободны).

[TelmanStud]

Точно. Спасибо всем!

[madschumacher]

TelmanStud в сообщении #1540733 писал(а):

Однако не увидел конкретную модель где бы она могла проявится.

Помимо приведённой toy model, этот гамильтониан постоянно встречается в описании молекулярных колебаний. Разложение общего вида потенциала в ряд Тейлора тоже даёт такого рода взаимодействия.

TelmanStud в сообщении #1540741 писал(а):

Тогда возникнут и другие члены четвертого порядка, типа $\sim q_1q_2^3$

И такие члены тоже могут возникать, и даже кубические. Какие из коэффициентов перед ними будут нулевыми, а какие нет, в частности будет зависеть от симметрии конкретных колебаний. В частности, если колебания имеют разную симметрию, то взаимодействия приведённого Вами вида не будут случаться, и минимально возможными связями будут именно те, что даны в первом сообщении.

[TelmanStud]

madschumacher в сообщении #1540983 писал(а):

этот гамильтониан постоянно встречается в описании молекулярных колебаний.

Можно ссылку на статью или книгу?

[madschumacher]

TelmanStud в сообщении #1541411 писал(а):

Можно ссылку на статью или книгу?

Моя любимая:
Банкер Ф., Йенсен П.
Симметрия молекул и спектроскопия.
Пер. с англ.
2004. 768 с. ISBN 5-03-003546-X.

А так можно много найти по запросу: "VPT2", где под аббревиатурой скрывается "vibrational perturbation theory". Собственно, там Ваши каплинги мод из Гамильтониана зовутся "полудиагональным тензором квартичного поля".

[TelmanStud]

madschumacher
Благодарю!